axiomatique

Imaginez un jeu dont on fixe d'abord les règles, puis toutes les conséquences permises par ces règles. En mathématiques, une axiomatique joue ce rôle de point de départ : elle rassemble quelques affirmations admises, appelées axiomes, et précise le cadre logique dans lequel on raisonne.

On ne choisit donc pas un théorème au hasard. On le relie aux axiomes par une suite d'étapes autorisées. L'intérêt est de rendre visibles les fondations de la théorie et de pouvoir examiner si elles se contredisent, se répètent ou suffisent au but recherché.

Une axiomatique est un ensemble d'axiomes associé à un langage, à des règles de raisonnement et, selon le cadre étudié, à une interprétation. Les axiomes sont admis comme points de départ à l'intérieur de la théorie ; les théorèmes sont les propositions obtenues par des déductions conformes aux règles. Si la lettre S désigne l'ensemble des axiomes et la lettre grecque φ une proposition, l'écriture $S⊢\phi S\; \backslash vdash\; \backslash varphi$ signifie qu'il existe une démonstration de φ à partir de S.

La cohérence exige qu'aucune proposition et sa négation ne soient toutes deux démontrables. L'indépendance des axiomes signifie qu'aucun axiome ne peut être déduit des autres ; elle évite les axiomes redondants, mais elle n'est pas nécessaire pour que la théorie fonctionne. La complétude demande une précision de vocabulaire. Une théorie est dite complète lorsqu'elle décide chaque proposition de son langage : elle démontre cette proposition ou sa négation. Un système de déduction est dit complet au sens sémantique lorsque toute conséquence vraie dans tous les modèles des axiomes est démontrable.

Ces propriétés dépendent toujours du langage, des règles logiques et des axiomes retenus. Une même famille d'objets peut recevoir plusieurs axiomatiques. Les modèles sont alors les structures dans lesquelles tous les axiomes sont vrais ; ils permettent de comparer ce que les axiomes imposent avec ce qu'ils laissent libre.

Considérons un langage à deux propositions, P et Q, avec la logique propositionnelle classique.
Données : l'axiome A₁ affirme P ; l'axiome A₂ affirme « si P, alors Q » ; le modus ponens autorise à conclure Q lorsque P et « si P, alors Q » sont établis.

1. L'axiome A₁ donne P directement.

2. A₁ et A₂, réunis par le modus ponens, donnent Q. La proposition Q est donc un théorème de cette théorie.

3. Pour contrôler la cohérence, on attribue la valeur vraie à P et à Q. Les deux axiomes sont vrais ensemble : puisque les règles préservent la vérité, aucune contradiction n'est déductible.

4. Pour contrôler l'indépendance, on retire un axiome à la fois. Sans A₁, P faux et Q faux satisfont A₂ sans satisfaire A₁. Sans A₂, P vrai et Q faux satisfont A₁ sans satisfaire A₂.

5. Les deux axiomes imposent P vrai et Q vrai. Dans ce langage, ils fixent donc une unique attribution de valeurs ; avec le calcul propositionnel classique, chaque formule ou sa négation est démontrable. Le contrôle consiste à refaire les deux retraits de l'étape 4.

Pour construire une théorie, on énonce ses objets primitifs et ses axiomes avant de chercher des théorèmes. Si une affirmation peut être obtenue à partir des autres, on peut l'écarter de la liste des axiomes sans perdre de conséquences.

Pour vérifier une démonstration, on remonte chaque étape jusqu'à un axiome ou à une règle autorisée. Si une étape utilise une propriété non admise et non démontrée, elle constitue un manque dans le raisonnement.

Pour comparer deux cadres, on cherche leurs modèles et leurs théorèmes. Une approche par modèles est préférable lorsqu'on veut savoir ce que les axiomes décrivent ; une approche par preuves convient lorsqu'on veut établir ce qui se déduit formellement.

Axiomatique et axiome. Un axiome est une proposition de départ ; une axiomatique est le système qui rassemble les axiomes et les inscrit dans un cadre de déduction. Dans l'exemple, A₁ est un axiome, tandis que l'ensemble formé par A₁, A₂ et le cadre logique constitue l'axiomatique.

Axiome et hypothèse locale. Un axiome vaut comme point de départ général de la théorie. Une hypothèse n'est adoptée que pour un raisonnement donné. Supposer temporairement P dans une preuve ne transforme donc pas P en axiome.

Axiomatique et modèle. L'axiomatique formule les contraintes ; un modèle est une structure qui les satisfait. Les valeurs P vraie et Q vraie forment un modèle de l'exemple, mais ne sont pas elles-mêmes la liste des axiomes.

Un modèle ne prouve pas à lui seul la cohérence absolue. Il établit une cohérence relative au cadre dans lequel ce modèle est construit. Le bon réflexe consiste à préciser la logique et la théorie de fond mobilisées.

L'indépendance dépend des autres axiomes. Un axiome peut être indépendant d'une liste donnée et devenir déductible après l'ajout d'un nouvel axiome. Il faut donc tester chaque retrait en conservant exactement le même langage et les mêmes règles.

Le mot « complétude » a plusieurs sens. Décider chaque proposition d'une théorie et démontrer toute conséquence vraie dans tous ses modèles sont deux propriétés différentes. Il faut annoncer laquelle est examinée avant de conclure qu'une axiomatique est complète.

Les trois qualités idéales ne sont pas automatiques. Une théorie peut être cohérente sans être complète, et une liste cohérente peut contenir un axiome redondant. On vérifie donc séparément cohérence, complétude et indépendance.

Le glossaire axiome précise le statut d'une proposition admise comme point de départ d'une théorie.

L'article Mais que sont les axiomes ? prolonge la réflexion sur le rôle des axiomes dans la construction des mathématiques.