formalisme - philosophie -

Sur une feuille, on écrit A, puis on applique une consigne précise : ajouter B à droite. On obtient AB, puis ABB si l’on recommence. Chaque nouvelle ligne est admise parce qu’elle respecte la règle, non parce que A ou B représente un objet particulier.

Le formalisme regarde ainsi les mathématiques comme un jeu de symboles strictement encadré. Les axiomes donnent le point de départ ; les règles autorisent les transformations ; les théorèmes sont les résultats que ces transformations permettent d’atteindre.

En philosophie des mathématiques, le formalisme désigne une famille de positions qui privilégient la formalisation des mathématiques en systèmes de symboles régis par des règles explicites. Dans un système formel, la démontrabilité d’un énoncé tient à sa dérivation à partir d’axiomes selon des règles d’inférence. Certaines versions du formalisme refusent en outre de faire reposer les mathématiques sur des objets abstraits indépendants, sans que cette thèse caractérise uniformément tous les formalismes. L’image du jeu résume cette organisation : les axiomes en fixent les positions initiales et les règles déterminent les coups autorisés.

La distinction aristotélicienne entre forme et matière constitue une racine historique de cette position. Au début du XX^e siècle, le programme de David Hilbert en a fourni l’expression la plus élaborée : il visait à formaliser les mathématiques et à établir, par des méthodes finitaires, la cohérence des théories ainsi formalisées.

Les théorèmes d’incomplétude de Gödel, publiés en 1931, ont imposé une limite à cette ambition : dans tout système formel cohérent, effectivement axiomatisé et assez expressif pour l’arithmétique, certains énoncés ne sont ni démontrables ni réfutables dans ce système. Le formalisme ne se confond ni avec le logicisme, qui ramène les mathématiques à la logique, ni avec l’intuitionnisme, qui les fonde sur l’intuition mentale du mathématicien.

Données. Le mini-système emploie seulement les symboles A et B. Son unique axiome est A. Son unique règle autorise à ajouter un B à droite d’une expression déjà obtenue.

1. On part de A, admis sans démonstration puisqu’il s’agit de l’axiome.

2. On applique une fois la règle : A devient AB. On l’applique une seconde fois : AB devient ABB. La dérivation complète s’écrit :

3. L’expression ABB est donc un théorème de ce mini-système. En revanche, BA ne peut pas être obtenu : l’axiome commence par A et la seule règle ne fait qu’ajouter des B à droite.

Le contrôle consiste à repartir de ABB et à supprimer successivement ses deux B terminaux : on retrouve AB, puis l’axiome A. La chaîne de symboles rend visible le principe formaliste : la validité vient ici d’une suite de transformations autorisées.

Pour examiner une démonstration sous un angle formaliste, on repère d’abord les axiomes admis, puis la règle qui justifie chaque passage. Si une étape ne peut être rattachée à une règle explicite, la dérivation est incomplète.

Pour comparer des philosophies des mathématiques, on demande ce qui fonde la vérité d’un énoncé. Si l’accent porte sur la manipulation cohérente des symboles, la lecture est formaliste ; s’il porte sur la réduction à la logique ou sur l’exigence constructive de preuve et de construction, le logicisme ou l’intuitionnisme sont plus appropriés.

Pour évaluer un projet de fondation, il faut enfin distinguer cohérence et complétude. La cohérence interdit de dériver à la fois une affirmation et sa négation ; la complétude exigerait que chaque énoncé pertinent soit décidable dans le système. Les résultats de Gödel obligent à examiner cette seconde exigence avec précaution.

Formalisme et logicisme. Le formalisme fonde la validité sur des symboles manipulés selon des règles, tandis que le logicisme cherche à réduire les mathématiques à la logique. Un projet qui traduit un théorème en conséquence de principes logiques relève du second, pas du seul jeu formel.

Formalisme et intuitionnisme. Le critère qui les sépare est le fondement retenu. Une dérivation gouvernée par des règles explicites illustre le formalisme ; une justification qui exige de construire l’objet affirmé ou de fournir une méthode effective relève de l’intuitionnisme.

Notation formelle et thèse formaliste. Employer des symboles précis dans une preuve est une pratique d’écriture ; soutenir que la vérité mathématique réside uniquement dans ces manipulations est une position philosophique. Une formule symbolique, à elle seule, ne tranche donc pas l’adhésion au formalisme.

Cohérence ne signifie pas complétude. Un système peut éviter la contradiction sans pouvoir décider tous les énoncés de son langage. Le symptôme est un énoncé dont ni lui ni sa négation ne se déduisent ; il faut alors renoncer à conclure à partir de la seule cohérence.

La limite de Gödel a des hypothèses. Le résultat vise les systèmes cohérents, effectivement axiomatisés et suffisamment expressifs pour formaliser l’arithmétique. L’appliquer à n’importe quel jeu de règles est abusif ; il faut d’abord vérifier que ces conditions sont remplies.

« Conventionnel » ne signifie pas « sans contrainte ». Les axiomes et les règles sont choisis, mais une fois fixés ils déterminent les transformations autorisées. Dans le mini-système de l’exemple, BA reste inaccessible même si ABB est dérivable ; il faut suivre la règle, pas inventer un résultat souhaité.

Le programme de Hilbert n’est pas annulé en bloc. Les résultats de 1931 montrent une limite intrinsèque à l’objectif d’un système complet et cohérent assez puissant. Il faut identifier l’ambition précise qui échoue, plutôt que conclure que toute formalisation mathématique est impossible.

axiome précise le statut du point de départ admis dans une théorie formelle.

théorèmes d’incomplétude de Gödel approfondit la limite qui touche les systèmes formels assez expressifs.

La refonte de la géométrie par David Hilbert replace l’ambition axiomatique de Hilbert dans un exemple mathématique majeur.

La philosophie des mathématiques iconoclaste de Wittgenstein ouvre une autre manière d’interroger le sens des mathématiques.