Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
axiome
Un axiome est une proposition première admise sans démonstration dans le cadre d'une théorie mathématique ; certains cadres utilisent aussi des schémas d'axiomes, qui désignent une famille de propositions. Associé aux autres axiomes, il constitue la base à partir de laquelle les théorèmes de la théorie sont démontrés au moyen des règles d'inférence, sans hypothèse locale laissée ouverte. Dans les mathématiques classiques, l'axiome a parfois été associé à une prétendue évidence, contrairement au postulat ; cette distinction reste historiquement relative. Dans les mathématiques modernes, le terme axiome désigne ce statut de point de départ, indépendamment de toute notion d'évidence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle d’un axiome dans une théorie mathématique.
- Suivre une déduction simple depuis deux axiomes jusqu’à un théorème.
- Distinguer un axiome d’un théorème et nuancer son opposition historique au postulat.
- Éviter de confondre axiome moderne et vérité tenue pour évidente.
En clair
Imaginez un jeu dont les règles de départ sont posées avant la première partie. On ne les gagne pas par un raisonnement mené dans le jeu : on les accepte pour pouvoir jouer. Un axiome remplit ce rôle dans une théorie mathématique.
Les mathématiciens démontrent ensuite des propositions au moyen de règles logiques, à partir d’un ou plusieurs axiomes et, si besoin, de définitions ; certaines peuvent même être démontrées sans axiome non logique. Une proposition ainsi démontrée est un théorème. L’axiome n’est donc pas forcément une vérité évidente pour tout le monde : il est le point de départ déclaré d’un système précis.
Définition
Un axiome est une proposition de base admise sans démonstration à l’intérieur d’une théorie mathématique. Son statut dépend donc du cadre annoncé : la théorie précise ses axiomes et les règles logiques autorisées. Une proposition déduite des axiomes et des théorèmes déjà établis, sans hypothèse locale laissée ouverte, est un théorème de la théorie. Si la déduction utilise une hypothèse temporaire non déchargée, elle donne seulement une conséquence sous cette hypothèse.
Plusieurs axiomes forment ensemble le socle du raisonnement déductif. Ils ne donnent pas directement toutes les conclusions de la théorie ; ils fournissent les propositions initiales dont les théorèmes peuvent être déduits. Le caractère « admis sans démonstration » signifie qu’aucune preuve interne à la théorie n’est exigée pour les utiliser.
Dans l’usage classique, le mot axiome pouvait suggérer une proposition tenue pour évidente, contrairement au postulat. Cette opposition est historiquement relative. Dans les mathématiques modernes, une proposition peut être appelée axiome parce qu’elle occupe une place initiale dans un système formel, qu’elle paraisse évidente ou non.
Le principe
Dans un système formel donné, toute proposition déclarée comme axiome peut être utilisée sans preuve. Supposons qu’une proposition soit notée A et qu’une conclusion soit notée T. Si A et l’implication « A entraîne T » sont des axiomes ou des théorèmes déjà établis, une règle logique autorise la déduction et T est alors un théorème. Si A est seulement une hypothèse temporaire non déchargée, T reste une conséquence sous l’hypothèse A.
Quand l'utiliser
Le mot axiome s’emploie relativement à une théorie ou à un système formel identifié. Il faut connaître les propositions choisies comme points de départ et les règles logiques qui permettent de les combiner. La conclusion obtenue n’est garantie que dans ce cadre.
Pour situer une proposition, il faut d’abord identifier le cadre formel et vérifier son statut déclaré : un axiome figure dans la base, aucune démonstration interne n’est requise pour l’utiliser, et les déductions ultérieures respectent les règles du système. Une proposition déduite des axiomes sans hypothèse locale ouverte est un théorème. Avec une hypothèse temporaire encore ouverte, la conclusion est une conséquence conditionnelle ; elle ne devient un théorème qu’après décharge de cette hypothèse selon les règles du système.
Un exemple, pas à pas
Construisons une petite théorie dont le domaine est l’ensemble des jetons et dont les prédicats sont « être rouge », « être rond » et « rouler sur une pente ». Elle admet deux axiomes : « tout jeton rouge est rond » et « tout jeton rond roule sur une pente ». Ces deux propositions sont des implications universellement quantifiées sur les jetons, et leur instanciation universelle ainsi que la généralisation universelle sont autorisées. Les mots ont ici le sens fixé par cette théorie, et ces deux propositions sont acceptées sans preuve. Cherchons si « tout jeton rouge roule sur une pente » est un théorème.
Étape 1. Prenons un jeton quelconque, nommé J, et supposons qu’il est rouge.
Étape 2. Dans le cadre logique retenu, les axiomes universels peuvent être instanciés pour un jeton quelconque. Le premier donne donc, pour J, « si J est rouge, alors J est rond » ; avec l’hypothèse de l’étape 1, le modus ponens permet de conclure que J est rond.
Étape 3. De même, l’instanciation universelle du second axiome donne « si J est rond, alors J roule sur une pente » ; comme J est rond, le modus ponens permet de conclure que J roule sur une pente.
Étape 4. Déchargeons l’hypothèse « J est rouge » : nous obtenons « si J est rouge, alors J roule sur une pente ». Comme J a été choisi arbitrairement et ne figure dans aucune hypothèse encore ouverte, la généralisation universelle autorisée permet de conclure que tout jeton rouge roule sur une pente. La proposition recherchée est donc un théorème déduit des deux axiomes.
Le contrôle de la déduction présentée est immédiat : si l’un des deux axiomes est retiré, cette chaîne se brise. Le premier ne permet plus d’obtenir « J est rond » par cette voie, ou le second ne permet plus de passer de « rond » à « roule » par cette voie. Cela n’exclut pas qu’une autre déduction soit possible avec d’autres axiomes ou règles.
En pratique
En lisant une théorie, commencez par repérer les propositions ou schémas explicitement déclarés comme axiomes : ce sont les points de départ du système. Une hypothèse, une définition, une règle ou une conjecture peut aussi être énoncée sans preuve sans être pour autant un axiome. Une conclusion déduite avec une hypothèse temporaire non déchargée reste conditionnelle ; un théorème de la théorie ne dépend que de ses axiomes, de théorèmes antérieurs et de ses règles d’inférence.
Pour comparer deux systèmes formels, examinez d’abord leurs axiomes et leurs règles logiques. Une conclusion valable dans l’un ne se transfère à l’autre que si la nouvelle base permet encore la même déduction.
Pour vérifier un raisonnement, remontez chaque conclusion jusqu’aux axiomes employés. Si une étape ne vient ni d’un axiome ni d’une règle autorisée, la déduction est incomplète ; il faut fournir la justification manquante plutôt que traiter l’étape comme évidente.
À ne pas confondre
Axiome et théorème. Un axiome est admis sans démonstration dans la théorie ; un théorème est déduit des axiomes par des règles logiques. Dans l’exemple des jetons, les deux propositions initiales sont des axiomes, tandis que « tout jeton rouge roule » est un théorème.
Axiome et postulat. Dans les mathématiques classiques, l’axiome était présenté comme évident, alors que le postulat ne revendiquait pas nécessairement cette évidence. Comme cette séparation est historiquement relative et s’efface dans l’usage moderne, il faut vérifier le rôle donné à la proposition par l’auteur plutôt que se fier au seul mot.
Limites et pièges
Évidence trompeuse. Une proposition moderne n’est pas un axiome parce qu’elle paraît évidente. Le signe fiable est son inscription parmi les bases du système. Il faut donc nommer la théorie concernée au lieu de présenter l’axiome comme une vérité sans cadre.
Absence de preuve mal comprise. « Admis sans démonstration » ne signifie pas qu’aucun raisonnement mathématique n’existe autour de la proposition. Cela signifie seulement qu’elle est utilisable sans preuve à l’intérieur de la théorie considérée. Pour juger une conclusion, il faut examiner la chaîne qui part de cette base.
Statut sorti de son système. Une proposition appelée axiome dans une présentation ne conserve pas automatiquement ce statut dans toute autre. Si elle y est obtenue à partir de propositions plus fondamentales, elle joue le rôle d’un théorème. Il faut regarder la dépendance logique effective.
Pour aller plus loin
Pour prolonger l'étude, on peut comparer le rôle d'un axiome à celui d'une définition et d'un théorème : l'axiome fixe un point de départ, la définition introduit un objet et le théorème établit une conséquence par démonstration.
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