Bernays Paul

En 1917, à Göttingen, Paul Bernays travaille comme assistant de David Hilbert. Il participe alors à un programme qui cherche à fonder les mathématiques sur des règles formelles clairement contrôlées. Ses recherches portent notamment sur les raisonnements logiques et sur la manière de parler rigoureusement des ensembles. Elles donnent aussi un résultat précis : dans un calcul propositionnel classique correct et complet, toute proposition qui est vraie dans toutes les interprétations peut être démontrée à partir des règles de ce calcul.

Paul Isaac Bernays est un mathématicien suisse dont les travaux relient la logique mathématique aux fondements des mathématiques. Sa trajectoire comprend des études à Berlin, une formation complémentaire à Göttingen, puis une thèse soutenue en 1912 sur la théorie des nombres et les formes quadratiques binaires. À Zurich, son habilitation et son travail avec Ernst Zermelo portent sur les fonctions elliptiques modulaires.

Dans le programme formaliste mené à Göttingen avec Hilbert, l'objectif est d'étudier les mathématiques au moyen de systèmes dont les règles et les démonstrations peuvent être examinées avec précision. Bernays a démontré le théorème de complétude de la logique propositionnelle classique : dans un calcul propositionnel classique adéquat, toute formule propositionnelle vraie dans toutes les interprétations possède une démonstration dans ce calcul ; autrement dit, la validité sémantique équivaut à la démontrabilité syntaxique. Ce résultat concerne la relation entre vérité sémantique et démontrabilité syntaxique ; il ne constitue pas à lui seul une théorie des ensembles.

Ses travaux sur les fondements ont conduit à la théorie axiomatique des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel, abrégée NBG et également appelée théorie des classes. Cette théorie distingue le langage des ensembles de celui des classes, dans un cadre axiomatique. La source attribue à Bernays un rôle dans cette construction, sans lui attribuer seul l'ensemble de l'œuvre désignée par le nom von Neumann-Bernays-Gödel.

Considérons le raisonnement propositionnel suivant : « Si une démonstration est valide, alors sa conclusion suit les règles ; cette démonstration est valide ; donc sa conclusion suit les règles. » L'exemple ne cherche pas à reconstruire une preuve historique de Bernays. Il illustre la validité d'un raisonnement et l'application d'une règle d'inférence, mais ne suffit pas à montrer la complétude : celle-ci affirme que toute formule propositionnelle valide possède une preuve dans le calcul considéré.

Données :
• la première proposition affirme une implication ;
• la deuxième affirme l'antécédent de cette implication ;
• la troisième est la conclusion annoncée.

Première étape : lorsque les deux premières propositions sont vraies, la règle du raisonnement permet d'obtenir la troisième.
Deuxième étape : la conclusion suit donc des prémisses selon les règles du système.
Contrôle : une interprétation attribue à chaque proposition élémentaire la valeur vrai ou faux ; ici, notons P « la démonstration est valide » et Q « sa conclusion suit les règles ». L'implication P → Q est fausse seulement quand P est vrai et Q est faux. On peut donc vérifier les quatre couples de valeurs (P, Q) : (vrai, vrai) donne des prémisses vraies et une conclusion vraie ; (vrai, faux) rend la première prémisse fausse ; (faux, vrai) rend la deuxième prémisse fausse ; (faux, faux) rend les deux prémisses fausses. Aucun couple ne rend les deux prémisses vraies et la conclusion fausse : le raisonnement est valide. Ce contrôle porte sur ce schéma précis : il établit sa validité locale, mais ne démontre pas à lui seul la complétude du calcul. Le théorème de complétude pose une question plus générale : pour toutes les formules propositionnelles valides dans toutes les interprétations, existe-t-il une démonstration dans le calcul considéré ? Vérifier ces quatre couples ne répond pas à lui seul à cette question générale.

Pour lire un résultat de logique mathématique, on peut d'abord séparer deux questions : une formule est-elle vraie dans toutes les interprétations, et existe-t-il une démonstration qui la produit avec les règles du système ? Le théorème de complétude de la logique propositionnelle relie précisément ces deux questions.

Pour situer la théorie NBG, il faut regarder le niveau de description concerné. Elle fournit un cadre axiomatique pour les ensembles et les classes ; elle ne remplace donc pas une biographie de Bernays ni une présentation de ses fonctions elliptiques modulaires.

Pour replacer une étape dans son parcours, on peut associer chaque date à un événement précis : la thèse à Göttingen en 1912, le retour à Göttingen comme assistant de Hilbert dès 1917, puis l'enseignement à Zurich jusqu'à la retraite en 1959. Cette méthode évite de fusionner des travaux différents sous une seule date.

La logique propositionnelle et la théorie des ensembles NBG ne répondent pas à la même question. La première étudie des propositions et leurs règles de combinaison ; la seconde est une théorie axiomatique des ensembles et des classes. Le cas qui tranche est le résultat visé : la complétude concerne la logique propositionnelle, tandis que NBG concerne les fondements et les classes.

Le programme formaliste et un théorème particulier ne sont pas synonymes. Le programme est le cadre de recherche dans lequel Bernays travaille avec Hilbert ; le théorème de complétude est un résultat déterminé sur la logique propositionnelle. Une phrase qui décrit les règles générales du programme ne suffit donc pas à énoncer ce théorème.

La complétude ne signifie pas que toute phrase est démontrable. Le résultat porte sur les formules vraies dans toutes les interprétations de la logique propositionnelle. Une formule fausse dans au moins une interprétation ne satisfait pas cette condition ; il faut alors distinguer sa valeur sémantique de la possibilité d'une démonstration.

Le nom NBG ne résume pas une contribution individuelle isolée. La source parle de travaux de Bernays qui conduisirent à la théorie de von Neumann-Bernays-Gödel. Il serait donc abusif de transformer cette formulation en attribution exclusive à Bernays.

Une date ne doit pas être étendue au-delà du fait qu'elle documente. 1912 désigne la soutenance de la thèse ; 1917 situe le retour à Göttingen comme assistant de Hilbert ; 1933 marque la perte de son poste sous le régime national-socialiste ; 1959 correspond à sa retraite de l'École polytechnique fédérale. Ces repères ne datent pas indistinctement tous ses travaux.

La théorie des classes prolonge directement la dernière partie de cette fiche. Elle permet d'examiner le cadre axiomatique associé aux ensembles et aux classes, et de comprendre pourquoi la théorie NBG est aussi désignée par cette expression.