théorie des classes

Écrivons une petite collection, par exemple {0, 1}. Dans NBG, cet ensemble est aussi une classe : le mot « classe » englobe donc les collections ordinaires que les mathématiques manipulent comme ensembles.

NBG permet aussi de parler de collections trop grandes pour être des ensembles. Elles portent le nom de classes propres. Cette distinction évite de traiter de la même manière toutes les collections décrites par une propriété, tout en gardant un langage capable de les nommer.

La théorie des classes NBG, pour von Neumann-Bernays-Gödel, est une théorie axiomatique des ensembles qui distingue les ensembles des classes. Tout ensemble est une classe. Une classe propre est, au contraire, une classe qui n'est pas un ensemble parce qu'elle est trop grande pour recevoir ce statut. Le partage entre ensembles et classes propres organise ainsi le cadre représenté par la figure.

NBG reprend les axiomes de ZFC, c'est-à-dire Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix, en les adaptant au cadre des classes. Elle leur adjoint des axiomes qui relient les classes aux prédicats servant à les décrire. Son langage peut donc exprimer directement davantage d'énoncés que celui de ZFC.

Cette expressivité supplémentaire ne produit pourtant aucun nouveau théorème lorsque l'énoncé porte exclusivement sur des ensembles. NBG et ZFC démontrent alors les mêmes énoncés : NBG est une extension conservative de ZFC. Historiquement, von Neumann initie la théorie en 1925, Bernays la reformule vers 1929 et Gödel l'emploie en 1940 pour une preuve de cohérence relative concernant l'axiome du choix et l'hypothèse du continu, via les constructibles. La théorie de Morse-Kelley, associée à John L. Kelley en 1955, est une théorie des classes plus forte.

Considérons la collection finie A = {0, 1}, la classe R = {x | x n'appartient pas à x} et l'énoncé E : « 0 appartient à A ». Sans supposer d'avance que R est un ensemble ou une classe propre, déterminez le statut de A et de R, puis demandez-vous si E ne parle que d'ensembles.

1. A est formée de deux ensembles ; l'axiome de la paire permet de la traiter comme un ensemble, donc aussi comme une classe dans NBG.
2. Supposons que R soit un ensemble. On pourrait alors choisir x = R dans sa propre définition et obtenir : R appartient à R si et seulement si R n'appartient pas à R, contradiction. R n'est donc pas un ensemble : c'est une classe propre.
3. Une formulation qui parle de R met en jeu une classe propre ; la conservation par rapport à ZFC ne s'applique pas automatiquement à cette formulation.
4. Dans E, les seuls objets nommés sont 0 et A = {0, 1}, qui sont des ensembles. E porte donc exclusivement sur des ensembles : pour ce type précis d'énoncé, NBG et ZFC ont le même pouvoir de démonstration.

Le classement se déduit ici des données : la construction finie fait de A un ensemble, tandis que l'hypothèse « R est un ensemble » se contredit elle-même. E reste alors dans le domaine conservatif, car il ne nomme que les ensembles 0 et A.

Lorsqu'un raisonnement doit nommer une collection trop grande pour être un ensemble, le langage de NBG permet de la traiter comme une classe propre. Le critère à vérifier est précisément l'impossibilité de lui donner le statut d'ensemble.

Lorsqu'un théorème ne parle que d'ensembles, NBG et ZFC conduisent aux mêmes énoncés démontrables. On peut alors choisir le cadre selon le langage utile au raisonnement, sans attendre de NBG un résultat supplémentaire sur les seuls ensembles.

Pour lire un texte de fondements, le sigle rencontré fournit un premier repère. NBG signale la distinction entre ensembles et classes ; ZFC reste centré sur les ensembles ; Morse-Kelley désigne une théorie des classes plus forte.

NBG et ZFC. NBG possède un langage des classes plus expressif, tandis que ZFC formule son cadre autour des ensembles. Si l'énoncé examiné porte exclusivement sur des ensembles, les deux théories démontrent pourtant les mêmes résultats.

Classe propre et ensemble. Tout ensemble est une classe, mais la réciproque échoue. Le cas qui tranche est celui d'une classe propre : elle est une classe sans être un ensemble.

NBG et Morse-Kelley. Ce sont deux théories des classes, mais elles n'ont pas la même force. Morse-Kelley, associée à John L. Kelley en 1955, est la théorie plus forte.

« Trop grande » n'est pas une mesure numérique. Le symptôme du piège serait de chercher un seuil ou un nombre d'éléments dans cette expression intuitive. Il faut retenir le verdict structurel donné par la théorie : la classe propre n'est pas un ensemble.

La conservation a un domaine précis. Elle concerne les énoncés portant exclusivement sur les ensembles. Dès qu'une formulation met en jeu des classes propres, il faut l'étudier dans le langage concerné au lieu d'invoquer automatiquement l'équivalence avec ZFC.

Plus expressif ne signifie pas plus fort sur les ensembles. NBG peut parler directement des classes, mais elle ne démontre pas davantage d'énoncés exclusivement ensemblistes que ZFC. Il faut séparer richesse du langage et force démonstrative sur ce domaine.

Les dates ne désignent pas le même apport. 1925 renvoie à l'initiative de von Neumann, vers 1929 à la reformulation de Bernays, 1940 à l'usage par Gödel des constructibles, et 1955 à Morse-Kelley.

ZFC (théorie) — Situe le cadre ensembliste dont NBG est une extension conservative.

axiome du choix — Approfondit l'axiome repris par NBG et mentionné dans le résultat de cohérence relative de Gödel.

Un panorama historique de la théorie des ensembles — Replace NBG dans l'évolution des fondements ensemblistes.

Gödel Kurt — Prolonge le rôle de Gödel évoqué à propos des constructibles en 1940.

von Neumann John — Présente le mathématicien qui initia la théorie des classes NBG en 1925.