Logique et ensemblesNotion · Glossaire
ZFC (théorie)
La théorie ZFC (Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix) est le système axiomatique le plus communément utilisé en mathématiques pour fonder la théorie des ensembles. Elle est constituée de dix axiomes environ, dont l'axiome d'extensionnalité, l'axiome de puissance, l'axiome de l'infini et l'axiome du choix. La plupart des mathématiques modernes peuvent être formalisées dans ZFC. Certaines questions, comme l'hypothèse du continu, sont indépendantes de ZFC.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer ZFC parmi les fondements de la théorie des ensembles.
- Voir l'extensionnalité et l'ensemble des parties sur {0, 1}.
- Distinguer ZF de ZFC et indépendance de fausseté.
En clair
Imaginez les mathématiques comme un jeu de construction. Avant d'assembler des objets, il faut fixer les règles autorisées. ZFC joue ce rôle pour les ensembles, qui servent ensuite à décrire nombres, fonctions et autres objets mathématiques.
Ses axiomes précisent notamment quand deux ensembles sont identiques, comment former leurs sous-ensembles et comment effectuer certains choix. Ils donnent un langage commun aux démonstrations, sans décider automatiquement toute question possible.
Définition
ZFC est l'abréviation de « théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix ». Ce système axiomatique fonde la théorie des ensembles à partir d'environ dix axiomes ou schémas d'axiomes. Au lieu de supposer que toute collection imaginable forme un ensemble, une construction doit être justifiée par ces règles.
Parmi les règles citées, l'extensionnalité identifie deux ensembles lorsqu'ils ont exactement les mêmes éléments. L'axiome de l'ensemble des parties garantit, pour un ensemble donné, l'ensemble de tous ses sous-ensembles. L'axiome de l'infini assure l'existence d'un ensemble infini. L'axiome du choix autorise une sélection simultanée dans une famille d'ensembles non vides, même sans règle explicite de sélection.
La plupart des mathématiques modernes peuvent être formalisées dans ce cadre. Cela ne signifie pas que ZFC tranche chaque énoncé : l'hypothèse du continu est indépendante de ZFC. Si ZFC est cohérente, cette hypothèse ne peut y être ni démontrée ni réfutée. La figure synthétise cette différence entre fondation très large et pouvoir de décision limité.
Un exemple, pas à pas
Prenons un ensemble A qui contient les deux éléments 0 et 1, et un ensemble B qui contient les mêmes éléments dans l'ordre inverse. Nous voulons vérifier leur égalité, puis former l'ensemble des parties de A. Les données sont donc A = {0, 1} et B = {1, 0}.
1. On compare les éléments : 0 appartient à A et à B, tout comme 1.
2. Aucun autre élément n'appartient à l'un des deux ensembles.
3. Par extensionnalité, A et B sont donc le même ensemble ; l'ordre d'écriture ne compte pas.
4. On énumère les sous-ensembles de A : l'ensemble vide, {0}, {1} et A lui-même.
5. L'ensemble des parties de A est donc P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
2. Aucun autre élément n'appartient à l'un des deux ensembles.
3. Par extensionnalité, A et B sont donc le même ensemble ; l'ordre d'écriture ne compte pas.
4. On énumère les sous-ensembles de A : l'ensemble vide, {0}, {1} et A lui-même.
5. L'ensemble des parties de A est donc P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
Le résultat contient quatre sous-ensembles. Le contrôle consiste à vérifier les quatre choix possibles pour 0 et 1 : garder les deux, n'en garder qu'un des deux, ou ne garder aucun élément.
En pratique
Pour rédiger une démonstration formelle en théorie des ensembles, ZFC fournit le cadre de référence. Si l'argument n'utilise jamais l'axiome du choix, on peut préciser qu'il vaut déjà dans ZF, le système obtenu sans cet axiome.
Pour comparer deux ensembles concrets, on examine leurs éléments plutôt que leur ordre d'écriture. Dans l'exemple A = {0, 1} et B = {1, 0}, l'extensionnalité conduit à A = B.
Pour étudier un énoncé que les axiomes ne tranchent pas, chercher seulement une preuve dans ZFC ne suffit plus. Il faut distinguer démontrabilité, réfutabilité et indépendance ; l'hypothèse du continu fournit le cas emblématique cité ici.
À ne pas confondre
ZFC et ZF. ZFC comprend l'axiome du choix, tandis que ZF désigne le système de Zermelo-Fraenkel sans cet axiome. Une preuve qui invoque une sélection dans une famille arbitraire d'ensembles non vides peut dépendre du choix.
ZFC et théorie des ensembles. La théorie des ensembles est le domaine étudié ; ZFC est un système d'axiomes particulier qui sert couramment de fondation. Parler d'un ensemble ne signifie donc pas, à lui seul, que chaque raisonnement possible est un théorème de ZFC.
Indépendance et fausseté. Dire que l'hypothèse du continu est indépendante de ZFC ne revient pas à dire qu'elle est fausse. Si ZFC est cohérente, le critère décisif est l'absence de démonstration et de réfutation dans ce système.
Limites et pièges
Un système très expressif n'est pas un système qui décide tout. Le symptôme du piège est l'affirmation qu'un énoncé mathématique bien formulé doit être démontrable ou réfutable dans ZFC. L'hypothèse du continu oblige à envisager l'indépendance.
« Environ dix axiomes » ne fixe pas un comptage universel. Certaines présentations regroupent des règles ou traitent séparément des schémas comportant une infinité d'instances. Il faut comparer les formulations, pas conclure à une divergence sur la seule différence du nombre affiché.
Formaliser n'est pas calculer automatiquement. Écrire une théorie dans le langage de ZFC précise ses objets et ses règles, mais ne fournit pas à lui seul une démonstration. Il faut encore construire un raisonnement à partir des axiomes et des résultats déjà établis.
Pour aller plus loin
axiome du choix — Examine la règle ajoutée à ZF pour former ZFC et les sélections qu'elle autorise.
axiome de l'infini — Approfondit l'axiome qui assure l'existence d'un ensemble infini.
Ensemble des parties — Développe la construction utilisée avec A = {0, 1} dans l'exemple guidé.
Hypothèse du continu — Présente la question indépendante de ZFC qui marque la limite de son pouvoir de décision.
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