Fraenkel Adolf

En ouvrant un manuel de théorie des ensembles, on rencontre des règles qui précisent quels objets peuvent former un ensemble. Adolf Fraenkel est l’un des mathématiciens associés à cette mise en ordre des fondements. Son travail aide à comprendre pourquoi les mathématiques ont besoin d’axiomes, c’est-à-dire de règles de départ clairement posées.

Son parcours relie plusieurs domaines : les nombres p-adiques et la théorie des anneaux dans ses premiers travaux, puis la logique, la théorie des ensembles et l’histoire des mathématiques. Il a aussi enseigné à Marburg, Kiel et Jérusalem.

Adolf Fraenkel est un mathématicien israélien d’origine allemande, né en 1891 et mort en 1965. Sa spécialité principale est l’étude des ensembles et des fondements logiques des mathématiques. Dans ce cadre, un système axiomatique comprend des axiomes, qui déterminent les constructions admises, et des règles de déduction, qui déterminent les raisonnements que l’on peut effectuer.

Fraenkel contribue, avec Ernst Zermelo, à l’élaboration de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée ZF. Cette théorie organise les ensembles à partir d’axiomes et constitue un fondement largement adopté de cette théorie. Thoralf Skolem a contribué à la formalisation et à la sémantique de la théorie des ensembles, sans que son nom entre dans la désignation canonique ZF. Lorsque l’axiome du choix est ajouté, on parle de ZFC. Cet axiome affirme, dans sa formulation usuelle, que l’on peut choisir un élément dans chacune d’une famille d’ensembles non vides, même sans donner une règle explicite pour ces choix.

Les travaux de Fraenkel ne se limitent pas à ce cadre. Ses recherches publiées en 1919 portent sur les nombres p-adiques et la théorie des anneaux. Il s’intéresse ensuite à l’histoire des mathématiques et publie une biographie de Georg Cantor.

Un exemple simple permet de voir la différence entre une règle de choix explicite et l’axiome du choix. Considérons trois boîtes non vides : une contient des billes rouges et bleues, une autre des billes vertes et jaunes, et la troisième des billes noires et blanches.

Données : trois boîtes ; chaque boîte contient au moins une bille ; une bille doit être choisie dans chaque boîte.

1. Pour la première boîte, choisir une bille rouge si une telle bille est présente.
2. Pour la deuxième boîte, choisir une bille verte si une telle bille est présente.
3. Pour la troisième boîte, choisir une bille noire si une telle bille est présente.
4. Si la couleur privilégiée manque dans une boîte, une règle supplémentaire est nécessaire pour déterminer le choix.

Dans cet exemple, la règle de couleur décrit effectivement les choix. L’axiome du choix intervient dans une situation plus générale : il garantit l’existence d’un choix dans chaque ensemble non vide, sans fournir nécessairement une procédure explicite pour le construire.

En théorie des ensembles, le nom de Fraenkel apparaît lorsqu’il est question de formaliser les objets mathématiques à partir d’axiomes. Le geste consiste à vérifier quelles constructions sont autorisées par le système choisi, au lieu de supposer qu’une collection quelconque forme automatiquement un ensemble.

En logique mathématique, la référence à ZF, ou à ZFC lorsque l’axiome du choix est inclus, sert à situer un raisonnement dans un cadre fondationnel précis. Ce cadre est utile lorsque l’on veut distinguer une propriété démontrée des axiomes d’une proposition qui dépend d’un axiome supplémentaire.

Dans l’histoire des mathématiques, la biographie de Cantor publiée par Fraenkel offre un autre accès à son travail : elle relie les idées sur les ensembles à leur développement historique, plutôt que de les présenter comme des règles apparues sans contexte.

Fraenkel ne désigne pas la théorie ZF elle-même. Adolf Fraenkel est une personne ; ZF est la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, à laquelle il a contribué avec Ernst Zermelo. Thoralf Skolem a également contribué à la formalisation et à la sémantique, sans que son nom entre dans la désignation canonique ZF. Le critère qui tranche est la nature de l’objet : une biographie concerne le mathématicien, tandis qu’un énoncé sur les axiomes concerne le système.

Il ne faut pas non plus confondre l’axiome du choix avec une méthode de choix explicite. Une règle qui indique quelle bille prendre dans trois boîtes est une procédure ; l’axiome du choix affirme une existence générale, sans imposer une procédure constructive pour chaque famille d’ensembles.

La théorie ZF, ou ZFC lorsque l’axiome du choix est inclus, est un fondement largement adopté de la théorie des ensembles, mais cela ne signifie pas qu’elle constitue l’unique fondement possible. Le symptôme d’une lecture excessive est de présenter tout résultat mathématique comme indépendant du cadre axiomatique. Il faut préciser les axiomes utilisés avant d’attribuer une portée absolue à une démonstration.

Une autre limite concerne l’expression « indépendance de l’axiome du choix ». Une indépendance est toujours relative à un système d’axiomes et à une logique donnés. Si ces hypothèses sont omises, le lecteur peut croire qu’il s’agit d’une impossibilité générale de démontrer l’axiome, ce qui n’est pas le bon sens de cette notion.

Enfin, le parcours de Fraenkel ne se réduit pas à la théorie des ensembles. Le présenter uniquement comme un spécialiste de ZF ferait disparaître ses travaux de 1919 sur les nombres p-adiques et la théorie des anneaux, ainsi que son activité d’historien des mathématiques.

Pour prolonger l’étude du contexte dans lequel Fraenkel est cité, l’article La théorie des ensembles pour tous permet de relier les axiomes et les objets de la théorie des ensembles à une présentation plus générale. Le lecteur y gagne un cadre pour situer la contribution historique de Fraenkel sans confondre la personne avec la théorie ZF.