Zermelo Ernst

En 1904, Ernst Zermelo s'attaque à une question vertigineuse. Peut-on ranger les éléments de n'importe quel ensemble de façon qu'un premier élément apparaisse toujours ? Cette exigence doit rester vraie dans chacune de ses parties non vides. Il démontre que oui : tout ensemble peut recevoir un tel bon ordre.

Ce résultat marque son entrée décisive dans la théorie des ensembles. Quatre ans plus tard, Zermelo propose neuf axiomes pour encadrer cette théorie. Les améliorations indépendantes d'Abraham Fraenkel et de Thoralf Skolem conduiront à ce que l'on nomme aujourd'hui les axiomes de Zermelo-Fraenkel.

Ernst Zermelo (1871-1953) est un mathématicien allemand associé à la fondation de la théorie axiomatique des ensembles. Formé en mathématiques, en physique et en philosophie, il soutient une thèse sur le calcul des variations. Il commence ensuite sa carrière auprès de Max Planck, dans des travaux d'hydrodynamique.

Son orientation vers la théorie des ensembles suit le Congrès international des mathématiciens de 1900. David Hilbert y présente 23 problèmes ; le premier concerne l'hypothèse du continu. En 1904, Zermelo démontre le théorème du bon ordre : pour tout ensemble, il existe un ordre selon lequel chacune de ses parties non vides possède un plus petit élément. L'énoncé affirme l'existence d'un tel ordre ; il ne prétend pas que tout ordre déjà choisi convient.

En 1908, Zermelo publie une axiomatisation de la théorie des ensembles composée de neuf axiomes. Abraham Fraenkel et Thoralf Skolem l'améliorent ensuite indépendamment ; l'appellation « axiomes de Zermelo-Fraenkel » conserve cette histoire. En 1913, Zermelo publie aussi un article précurseur de la théorie des jeux, avant la systématisation du domaine par John von Neumann et Oskar Morgenstern. En 1935, son désaccord avec le régime nazi le conduit à quitter son poste de professeur honoraire. Il ne retrouve ce poste qu'en 1946.

Considérons l'ensemble E formé des nombres 2, 4 et 6. Les données sont l'ensemble E = {2, 4, 6} et l'ordre croissant 2 avant 4, puis 4 avant 6. Cet exemple fini rend visible la propriété exigée par un bon ordre.

1. Prenons toute la partie E. Son plus petit élément est 2.
2. Prenons la partie {2, 6}. Son plus petit élément est encore 2.
3. Prenons la partie {4, 6}. Son plus petit élément est 4.
4. Prenons une partie réduite à un seul élément, par exemple {6}. Son plus petit élément est 6.

Le contrôle consiste à énumérer les autres parties non vides : {2}, {4} et {2, 4}. Chacune possède bien un premier élément dans l'ordre choisi. L'ordre croissant est donc un bon ordre pour E. Cette vérification sur trois éléments illustre la définition, mais elle ne démontre pas le théorème général portant sur tout ensemble.

Pour lire un texte de théorie des ensembles, la mention « Zermelo-Fraenkel » signale un système axiomatique issu de la proposition de Zermelo et de développements ultérieurs. Si le texte parle d'une personne, d'une date ou d'un article, « Ernst Zermelo » est le repère approprié.

Pour vérifier un bon ordre dans un petit ensemble, on examine ses parties non vides et l'on cherche leur plus petit élément dans l'ordre retenu. Une simple relation d'ordre suffit seulement si ce test réussit pour chaque partie non vide.

Pour situer l'histoire de la théorie des jeux, l'article de Zermelo publié en 1913 constitue un jalon précurseur. Pour la systématisation ultérieure du domaine, les noms de John von Neumann et d'Oskar Morgenstern deviennent les repères pertinents.

Ernst Zermelo et les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Le premier est une personne ; les seconds forment un système axiomatique. Une phrase datée de 1908 et limitée aux neuf axiomes publiés par Zermelo ne désigne donc pas à elle seule toute la forme ultérieure associée aussi à Fraenkel et à Skolem.

Bon ordre et ordre quelconque. Un ordre devient un bon ordre si toute partie non vide possède un plus petit élément. Dans l'exemple E = {2, 4, 6}, l'ordre croissant satisfait ce critère ; le seul fait de comparer les éléments ne suffirait pas à conclure sans ce test.

Travail précurseur et systématisation. L'article de Zermelo de 1913 précède la systématisation de la théorie des jeux par John von Neumann et Oskar Morgenstern. La date de 1913 qualifie le jalon de Zermelo, pas l'ensemble du domaine systématisé plus tard.

Un exemple fini ne prouve pas le cas général. Vérifier les sept parties non vides de E = {2, 4, 6} établit seulement que l'ordre choisi convient à E. Il faut revenir au théorème du bon ordre pour l'affirmation portant sur tout ensemble.

Le plus petit élément dépend de l'ordre. Dans E, 2 est premier pour l'ordre croissant. Un autre ordre pourrait placer 6 en premier. Il faut donc annoncer l'ordre avant d'identifier le plus petit élément.

Le mot « fondateur » ne supprime pas les prolongements. La source attribue à Zermelo neuf axiomes en 1908, puis mentionne les améliorations indépendantes de Fraenkel et de Skolem. Il faut conserver ces étapes au lieu de ramener tout le système ultérieur à un seul auteur.

Une date ne doit pas en absorber une autre. 1904 correspond au théorème du bon ordre, 1908 à l'axiomatisation en neuf axiomes et 1913 à l'article précurseur sur les jeux. La lecture correcte garde ces trois résultats séparés.

Le théorème du bon ordre invite à examiner le principe mobilisé dans la démonstration de Zermelo : l'axiome du choix. Ce prolongement précise le lien entre l'existence d'un bon ordre et les fondements de la théorie des ensembles.

On peut ensuite comparer l'axiomatisation publiée par Zermelo en 1908 avec les améliorations indépendantes de Fraenkel et de Skolem. Cette chronologie aide à comprendre pourquoi le nom composé « Zermelo-Fraenkel » désigne un développement, et non le seul texte initial.