fonction de choix

Imaginez trois corbeilles : l'une contient une pomme et une poire, une autre une fraise et une cerise, la dernière un citron et une orange. Vous prenez exactement un fruit dans chaque corbeille. La liste de vos trois choix joue le rôle d'une fonction de choix : à chaque corbeille, elle associe un fruit qui s'y trouve réellement.

Avec trois corbeilles, il suffit d'effectuer les choix. La question devient plus profonde lorsqu'une famille comporte une infinité d'ensembles et qu'aucune règle explicite ne désigne leurs représentants.

Soit une famille d'ensembles non vides, indexée par un ensemble I. Pour chaque indice i appartenant à I, l'ensemble correspondant est noté E_i. Une fonction de choix est une fonction f dont le domaine est I et dont la valeur f(i) appartient à E_i. En notant par ⋃_i∈I E_i la réunion de tous les ensembles de la famille, le type et la condition de f s'écrivent :

Cette condition ne rend généralement pas f unique : plusieurs représentants peuvent convenir dans un même ensemble. L'axiome du choix affirme l'existence d'au moins une telle fonction pour toute famille d'ensembles non vides, y compris lorsque la famille est infinie ou non dénombrable. Ajouté aux axiomes de Zermelo-Fraenkel, il donne le système ZFC. Si ZF est cohérente, l'axiome du choix est indépendant des axiomes de Zermelo-Fraenkel seuls.

La structure réunit quatre ingrédients. L'ensemble I fournit les indices. La famille associe à chaque indice i un ensemble E_i, qui doit être non vide. La fonction f reçoit un indice et renvoie une valeur. Enfin, la condition f(i) ∈ E_i oblige chaque valeur à venir du bon ensemble. Le domaine de f dépend donc de l'indexation, tandis que ses valeurs dépendent du contenu des ensembles. Ces données suffisent à vérifier une proposition de fonction de choix, mais elles n'imposent ni ordre, ni couleur, ni représentant privilégié. Le schéma rend visible cette correspondance pour la famille de fruits utilisée dans l'exemple.

On considère l'ensemble d'indices I = {1, 2, 3} et trois ensembles non vides : E₁ = {pomme, poire}, E₂ = {fraise, cerise} et E₃ = {citron, orange}. On veut construire une fonction de choix f sur cette famille.

1. Pour l'indice 1, choisissez la poire : f(1) = poire.
2. Pour l'indice 2, choisissez la cerise : f(2) = cerise.
3. Pour l'indice 3, choisissez le citron : f(3) = citron.
4. Regroupez ces associations : f = {(1, poire), (2, cerise), (3, citron)}.

Le contrôle se refait ensemble par ensemble : la poire appartient à E₁, la cerise à E₂ et le citron à E₃. Les trois indices ont exactement une image, toujours prise dans l'ensemble correspondant. La fonction f est donc bien une fonction de choix. D'autres choix, comme la pomme pour l'indice 1, donneraient une autre fonction également valide.

Pour une famille finie explicitement décrite, on construit une fonction de choix en prenant successivement un élément dans chaque ensemble. Une règle déterministe est préférable lorsqu'elle existe, car elle rend la sélection reproductible ; sinon, n'importe quel élément convient.

Dans une démonstration, on introduit souvent une fonction de choix pour disposer simultanément d'un représentant dans chacun de nombreux ensembles. Il faut alors vérifier que tous les ensembles concernés sont non vides avant d'utiliser les valeurs choisies.

Lorsque la famille est infinie et qu'aucune règle ne fournit les représentants, une construction explicite peut manquer. L'axiome du choix garantit l'existence d'une fonction pour toute famille d'ensembles non vides, sans en désigner une de manière canonique ; une famille particulière peut toutefois admettre une fonction de choix sans recourir à cet axiome.

Fonction de choix et axiome du choix. La première est un objet : une fonction f vérifiant f(i) ∈ E_i. Le second est un énoncé d'existence général. Dans l'exemple des trois ensembles de fruits, f est la fonction construite ; invoquer un axiome n'est pas nécessaire pour effectuer ces choix finis.

Choix arbitraire et règle de sélection. Une règle peut imposer un représentant précis, par exemple le plus petit nombre lorsque chaque ensemble possède un minimum. Une fonction de choix exige seulement que la valeur appartienne au bon ensemble. Si plusieurs fruits conviennent, elle n'a pas à justifier pourquoi l'un a été retenu.

Un ensemble vide bloque la définition. Si E_j = ∅ pour un indice j, aucune valeur f(j) ne peut appartenir à E_j. Il faut retirer cet indice du domaine ou renoncer à parler d'une fonction de choix sur toute la famille.

L'existence n'est pas l'unicité. Dès qu'un ensemble de la famille offre au moins deux représentants admissibles, plusieurs fonctions de choix peuvent exister. Il faut fournir un critère supplémentaire si l'on veut une sélection canonique ou reproductible.

Le cas fini masque la difficulté axiomatique. Pour trois ensembles non vides, les trois sélections successives suffisent. Ce constat ne fournit pas à lui seul une fonction pour une famille arbitraire, infinie ou non dénombrable ; c'est à ce niveau que l'axiome du choix intervient.

Indépendant ne signifie pas faux. L'indépendance indique que les axiomes de Zermelo-Fraenkel seuls ne décident pas l'axiome du choix. Il faut annoncer si le raisonnement se place dans ZF ou dans ZFC au lieu de traiter ce choix de cadre comme une conséquence déjà démontrée dans ZF.

Le glossaire consacré à l'axiome du choix développe l'énoncé qui garantit l'existence d'une fonction de choix pour toute famille d'ensembles non vides.

Le lemme de Zorn présente une formulation équivalente de l'axiome du choix, particulièrement utile pour obtenir des objets maximaux.

Le théorème de Hahn-Banach montre l'un des grands emplois de l'axiome du choix en analyse.

L'article L'axiome du choix replace cette hypothèse dans une présentation plus développée de ses enjeux mathématiques.