lemme de Zorn

Imaginez des collections de vecteurs que l'on agrandit sans jamais créer de dépendance. Certaines collections sont comparables : l'une est entièrement contenue dans l'autre. Une telle suite d'agrandissements forme une chaîne. Si chaque chaîne peut être rassemblée dans une collection encore admissible, le lemme de Zorn garantit une collection qu'on ne peut plus agrandir.

Cette collection est maximale : aucune collection admissible ne la contient strictement. Le lemme affirme son existence, mais ne fournit pas nécessairement une recette pour la trouver.

Le lemme de Zorn porte sur un ensemble muni d'un ordre partiel, c'est-à-dire une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Une chaîne est une partie dans laquelle deux éléments quelconques sont toujours comparables. Un majorant d'une chaîne est un élément de l'ensemble ordonné qui est supérieur ou égal à chacun de ses membres ; il n'a pas besoin d'appartenir à la chaîne.

Si l'ensemble ordonné est non vide et que toute chaîne admet un tel majorant, alors il possède au moins un élément maximal. Un élément est maximal lorsqu'il n'existe aucun élément strictement plus grand que lui dans l'ordre considéré. Plusieurs éléments maximaux peuvent donc coexister.

L'expression ensemble ordonné inductif désigne ici cette propriété de majoration des chaînes. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix. Il sert notamment à prouver l'existence d'une base d'espace vectoriel, d'un idéal maximal ou d'un ultrafiltre, sans construire explicitement l'objet obtenu.

Soit un ensemble muni d'un ordre partiel. Si chaque chaîne de cet ensemble possède un majorant dans l'ensemble, alors l'ensemble contient au moins un élément maximal. Dans la convention où la chaîne vide est admise, son majorant assure aussi que l'ensemble n'est pas vide. Si seules les chaînes non vides sont considérées, la non-vacuité doit être ajoutée aux hypothèses.

L'application commence par un ensemble non vide de candidats et un ordre partiel précis, souvent l'inclusion. Il faut ensuite prendre une chaîne arbitraire de candidats et exhiber un majorant qui reste dans l'ensemble des candidats. Enfin, il faut traduire correctement la maximalité obtenue en la propriété recherchée.

Les entiers relatifs munis de l'ordre usuel donnent un contre-cas. L'ensemble entier est lui-même une chaîne, mais il n'a aucun majorant entier. L'hypothèse de Zorn échoue donc, ce qui concorde avec l'absence d'entier maximal. Il faut alors employer un autre argument, ou modifier l'ensemble de candidats si le problème le permet.

Dans le plan vectoriel réel ℝ², notons e₁ le vecteur (1, 0) et e₂ le vecteur (0, 1). On considère toutes les parties linéairement indépendantes de ℝ², ordonnées par inclusion.

1. La partie vide, puis {e₁}, forment une chaîne de candidats.
2. La réunion d'une chaîne quelconque de parties indépendantes reste indépendante : toute relation linéaire ne fait intervenir qu'un nombre fini de vecteurs, tous contenus ensemble dans un membre de la chaîne.
3. Cette réunion est donc un majorant admissible. Le lemme de Zorn fournit une partie indépendante maximale.
4. Une telle partie maximale engendre ℝ² : sinon, un vecteur hors de son sous-espace engendré pourrait lui être ajouté. C'est donc une base.

Ici, {e₁, e₂} est un résultat possible. Pour des nombres réels alpha et bêta, son indépendance se contrôle par $\alpha e_1+\beta e_2=0\Rightarrow \alpha =\beta =0\backslash alpha\; e\_1+\backslash beta\; e\_2=0\; \backslash Rightarrow\; \backslash alpha=\backslash beta=0$. Aucun troisième vecteur ne peut lui être ajouté sans créer une dépendance.

Pour obtenir une base d'un espace vectoriel, on ordonne par inclusion ses parties linéairement indépendantes. La réunion majore chaque chaîne, puis la maximalité transforme la partie obtenue en base. Une construction directe reste préférable lorsqu'une base explicite est demandée.

Dans un anneau unitaire, pour obtenir un idéal maximal contenant un idéal propre donné, on ordonne par inclusion les idéaux propres qui le contiennent. La réunion d'une chaîne reste propre et la majore. Cette voie convient à une preuve d'existence ; elle ne calcule pas forcément l'idéal.

Le même schéma intervient pour prolonger un filtre jusqu'à un ultrafiltre. Le bon réflexe consiste à identifier les candidats, l'ordre, puis le majorant d'une chaîne avant d'invoquer le lemme.

Élément maximal et plus grand élément. Un plus grand élément domine tous les autres ; un élément maximal n'est seulement dominé par aucun autre. Deux candidats incomparables peuvent être tous deux maximaux, mais ils ne peuvent pas être tous deux le plus grand élément.

Majorant et maximum d'une chaîne. Un majorant doit appartenir à l'ensemble ordonné ambiant, mais pas nécessairement à la chaîne. S'il appartient à la chaîne et la domine, il en est le maximum.

Lemme de Zorn et axiome du choix. Ce sont deux formulations mathématiquement équivalentes, mais leur forme diffère. Zorn conclut à l'existence d'un élément maximal sous une hypothèse sur les chaînes ; l'axiome du choix formule un principe de sélection.

Une famille quelconque n'est pas une chaîne. Si deux candidats de la famille ne sont pas comparables, l'hypothèse de Zorn ne demande pas de majorer cette famille. Il faut contrôler uniquement les sous-ensembles totalement ordonnés, mais les contrôler tous.

Le majorant doit rester admissible. Dans l'exemple vectoriel, réunir une chaîne donne bien une partie de ℝ², mais il faut encore prouver qu'elle est linéairement indépendante. Oublier cette vérification invalide l'application.

Maximal ne signifie pas unique. Dans ℝ², {e₁, e₂} est une base maximale parmi les parties indépendantes, mais de nombreuses autres bases le sont aussi. Le lemme garantit au moins un objet, sans choisir un représentant canonique.

Existence ne signifie pas construction. Le lemme peut assurer qu'un objet maximal existe sans donner d'algorithme pour l'obtenir. Si le problème exige des coordonnées, une liste ou un calcul effectif, une méthode constructive supplémentaire est nécessaire.

axiome du choix — Pour relier la formulation par sélection au principe maximal utilisé par le lemme de Zorn.

Élément maximal — Pour approfondir la conclusion du lemme et la distinguer d'un plus grand élément.

Ultrafiltre — Pour examiner un objet dont l'existence s'obtient par un raisonnement de maximalité.

Maximal (idéal) — Pour suivre l'application de Zorn aux idéaux propres ordonnés par inclusion.