Ultrafiltre

Prenons les parties de l'ensemble {1, 2, 3} et fixons le nombre 2. Rangeons dans une collection toutes les parties qui contiennent 2 : {2}, {1, 2}, {2, 3} et l'ensemble entier. Cette collection est un ultrafiltre. Elle conserve les parties jugées assez grandes et reste cohérente lorsqu'on les agrandit ou qu'on les croise.

Son trait décisif est de trancher chaque question : pour toute partie, elle retient soit cette partie, soit son complémentaire, jamais les deux. On ne peut donc plus enrichir ce filtre sans lui faire perdre sa cohérence.

Soit E un ensemble. Un filtre propre sur E est une collection de parties de E qui contient E mais pas l'ensemble vide, qui contient l'intersection de deux de ses membres et qui contient toute partie plus grande que l'un de ses membres. Autrement dit, ses membres sont stables par intersection finie et par agrandissement.

Un ultrafiltre est un filtre propre maximal pour l'inclusion : aucun filtre propre strictement plus grand ne le contient. Cette maximalité équivaut au critère de décision suivant. Pour toute partie A de E, en notant E ∖ A son complémentaire dans E, exactement l'une des deux parties A et E ∖ A appartient à l'ultrafiltre. Le mot « exactement » est justifié : elles ne peuvent appartenir toutes les deux au filtre, car leur intersection est vide.

Si un élément x de E est fixé, la collection de toutes les parties qui contiennent x forme l'ultrafiltre principal en x. Dans l'exemple conducteur, x vaut 2 et E vaut {1, 2, 3}. Sur un ensemble infini, il peut aussi exister des ultrafiltres non principaux : aucun élément unique ne commande alors l'appartenance.

On travaille dans E = {1, 2, 3}. L'élément fixé est 2. La collection étudiée, notée ${\mathcal{U}}_2\backslash mathcal\; U\_2$, doit contenir exactement les parties de E dans lesquelles figure 2. Les huit parties de E se répartissent en quatre couples formés d'une partie et de son complémentaire.

1. On applique le critère $A\in {\mathcal{U}}_2⟺2\in AA\backslash in\backslash mathcal\; U\_2\backslash iff\; 2\backslash in\; A$. Les parties retenues sont donc {2}, {1, 2}, {2, 3} et {1, 2, 3}.

2. On contrôle les intersections : deux parties retenues contiennent toujours 2, donc leur intersection contient encore 2 et reste dans ${\mathcal{U}}_2\backslash mathcal\; U\_2$.

3. On contrôle l'agrandissement : toute partie qui contient une partie retenue contient elle aussi 2. La collection est donc un filtre propre.

4. Pour chacun des quatre couples complémentaires, une seule partie contient 2. Le critère caractéristique est satisfait : ${\mathcal{U}}_2\backslash mathcal\; U\_2$ est un ultrafiltre. Le contrôle se refait en vérifiant les quatre choix dans le schéma.

Sur un ensemble fini, un ultrafiltre se repère en cherchant l'élément commun à toutes les parties retenues. Si cet élément est x, on remplace une longue liste par la règle simple : retenir exactement les parties qui contiennent x.

En topologie, les ultrafiltres servent à formuler la convergence et la compacité. Dans les espaces où une caractérisation séquentielle est établie, les suites peuvent suffire ; en général, les ultrafiltres permettent de décrire la convergence sans la réduire à une numérotation.

En logique mathématique, ils interviennent dans des constructions qui regroupent des structures selon les parties d'indices jugées prépondérantes. Dans les constructions de nombres hypernaturels, un ultrafiltre non principal permet de comparer des suites d'entiers au-delà de leur comportement sur un nombre fini d'indices.

Filtre et ultrafiltre. Un filtre peut laisser une partie A et son complémentaire hors de la collection ; un ultrafiltre tranche toujours entre les deux. Par exemple, sur un ensemble infini, le filtre des parties dont le complémentaire est fini ne décide pas une partie infinie dont le complémentaire est lui aussi infini : ce filtre n'est pas un ultrafiltre.

Maximal ne signifie pas « contient toutes les parties ». L'ensemble vide reste exclu, et chaque couple {A, E ∖ A} fournit exactement un membre. Ajouter le membre écarté ferait apparaître l'ensemble vide par intersection.

Ensemble support vide. Avec la convention usuelle d'un filtre propre, aucun ultrafiltre n'existe sur l'ensemble vide : tout filtre devrait contenir le support, qui serait alors précisément l'ensemble vide interdit.

Fini ou infini. Sur un ensemble fini non vide, tout ultrafiltre est principal. Les ultrafiltres non principaux concernent donc les ensembles infinis ; leur existence générale fait intervenir une forme de l'axiome du choix. Il ne faut pas supposer qu'un « point caché » les détermine.

Le glossaire Filtre détaille la structure que la condition de maximalité transforme en ultrafiltre.

La fiche Axiome du choix présente le principe d'existence lié au prolongement des filtres propres en ultrafiltres.

La fiche Compacité en topologie montre le cadre où la convergence des ultrafiltres fournit un critère structurel.