Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Disjoint
Deux ensembles sont dits disjoints si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont aucun élément en commun. Plus généralement, une famille d'ensembles est dite deux à deux disjointe si tout couple d'ensembles distincts de la famille est disjoint. La notion d'ensembles disjoints est fondamentale en théorie des ensembles, en topologie et en théorie de la mesure, où la sigma-additivité s'applique précisément aux unions d'ensembles deux à deux disjoints.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tester la disjonction de deux ensembles en calculant leur intersection.
- Distinguer des ensembles disjoints de simples ensembles distincts ou complémentaires.
- Reconnaître la condition deux à deux disjointe pour une famille.
- Relier la disjonction à la sigma-additivité sans oublier ses hypothèses.
En clair
Imaginez deux boîtes : la première contient les nombres 1 et 2, la seconde les nombres 3, 4 et 5. Aucun nombre ne se trouve dans les deux boîtes. Les deux collections sont donc disjointes.
Le test consiste à chercher un élément commun. S’il n’en existe pas, l’intersection est l’ensemble vide. Pour plusieurs collections, « deux à deux disjointes » signifie que ce test réussit pour chaque paire distincte.
Définition
Soient deux ensembles nommés A et B. Leur intersection rassemble les éléments qui appartiennent simultanément à A et à B. Ils sont disjoints lorsque cette intersection est l’ensemble vide, noté ∅ : . Cette condition ne dépend ni du nombre d’éléments ni de leur ordre : seul compte l’absence d’élément commun.
Pour une famille d’ensembles, la condition « deux à deux disjointe » porte sur chaque couple de membres distincts. Si les ensembles de la famille sont notés Ai, alors Ai ∩ Aj = ∅ dès que les indices i et j sont différents. Il ne suffit pas que l’intersection de toute la famille soit vide.
Cette distinction est décisive en théorie de la mesure. Pour une famille dénombrable d’ensembles mesurables deux à deux disjoints, une mesure μ vérifie la sigma-additivité : . L’hypothèse de disjonction empêche qu’une même partie soit comptée plusieurs fois.
Un exemple, pas à pas
On considère deux ensembles finis :
Donnée 1. A contient 1 et 2.
Donnée 2. B contient 3, 4 et 5.
Le schéma de ces deux collections rend visible le test d’appartenance commune.
Donnée 1. A contient 1 et 2.
Donnée 2. B contient 3, 4 et 5.
Le schéma de ces deux collections rend visible le test d’appartenance commune.
Étape 1. On parcourt les éléments de A. Le nombre 1 n’appartient pas à B, et le nombre 2 n’appartient pas non plus à B.
Étape 2. Aucun élément de A n’étant présent dans B, l’ensemble des éléments communs ne contient rien.
Étape 3. On conclut que A et B sont disjoints. Leur union contient alors cinq éléments distincts : 1, 2, 3, 4 et 5.
Contrôle. A contient 2 éléments et B en contient 3. Comme aucun doublon n’apparaît dans leur réunion, l’union en contient bien 2 + 3 = 5. Pour ces ensembles finis, cette égalité fournit un second test de disjonction. Elle ne s’étend pas telle quelle aux ensembles infinis.
En pratique
Pour classer des objets sans double comptage, on forme des catégories disjointes. Si un objet satisfait deux critères, les catégories se chevauchent ; il faut alors préciser une règle d’affectation ou accepter ce chevauchement.
En théorie de la mesure, on décompose une région en parties mesurables deux à deux disjointes avant d’additionner leurs mesures. Si les parties se recouvrent, l’addition directe compte leur intersection plusieurs fois et une formule tenant compte du recouvrement devient nécessaire.
En topologie, vérifier que deux sous-ensembles sont disjoints établit seulement qu’ils n’ont aucun point commun. Si l’on veut aussi qu’ils restent séparés au voisinage de leurs frontières, il faut examiner leurs adhérences, pas seulement leur intersection.
À ne pas confondre
Ensembles distincts. Dire que A et C sont distincts signifie seulement A ≠ C. Avec A = {1, 2} et C = {2, 3}, les ensembles diffèrent mais partagent 2 : ils ne sont pas disjoints.
Intersection totale vide. Trois ensembles peuvent n’avoir aucun élément commun aux trois sans être deux à deux disjoints. Les ensembles {1, 2}, {2, 3} et {1, 3} ont une intersection totale vide, mais chaque paire partage un élément.
Ensembles complémentaires. Deux complémentaires dans un univers donné sont disjoints et couvrent tout cet univers. Les ensembles A = {1, 2} et B = {3, 4, 5} sont disjoints, mais ils ne sont complémentaires que si l’univers est exactement {1, 2, 3, 4, 5}.
Limites et pièges
L’ensemble vide. Comme ∅ ne contient aucun élément, il est disjoint de tout ensemble, y compris de lui-même. Pour un ensemble non vide A, en revanche, A ∩ A = A : A n’est donc pas disjoint de lui-même.
Répétition dans une famille. « Deux à deux » compare les membres portés par des indices distincts. Si le même ensemble non vide apparaît deux fois, ces deux occurrences ont une intersection non vide ; la famille indexée n’est pas deux à deux disjointe.
Frontières qui se touchent. Les intervalles ouverts ]0, 1[ et ]1, 2[ sont disjoints, mais leurs adhérences contiennent toutes deux 1. En topologie, l’intersection vide ne suffit donc pas à garantir une séparation plus forte.
Sigma-additivité. La formule pour une union dénombrable exige des ensembles mesurables deux à deux disjoints. Une intersection commune à toute la famille qui serait seulement vide ne suffit pas ; il faut contrôler chaque paire avant d’additionner les mesures.
Pour aller plus loin
La fiche Intersection approfondit l’opération qui isole les éléments communs et fournit le test exact de disjonction.
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