Dynkin (théorème de)

Imaginez que l'on sache reconnaître certains groupes d'issues d'une expérience. On accepte d'abord le groupe de toutes les issues, mais aussi le groupe opposé à tout groupe accepté, puis la réunion de groupes acceptés qui ne se chevauchent pas. Cette condition initiale et ces deux gestes définissent un système de Dynkin.

Le théorème devient puissant lorsque les groupes de départ sont également stables par intersection. Il garantit alors que toutes les combinaisons mesurables qu'ils engendrent appartiennent déjà au système. On contrôle ainsi une grande famille d'ensembles à partir d'une collection souvent beaucoup plus petite.

Soit un ensemble total, noté Ω. Une famille de parties de Ω, notée 𝒟, est un système de Dynkin, ou λ-système, lorsqu'elle contient Ω, contient le complémentaire dans Ω de chacun de ses éléments et contient toute réunion dénombrable d'éléments deux à deux disjoints. En notation compacte : $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{D},A\in \mathcal{D}\Rightarrow A^c\in \mathcal{D},(A_n{)}_{n\ge 1}\subset \mathcal{D}\text{ deux }\grave{\text{a}}\text{ deux disjoints}\Rightarrow {\bigcup }_{n\ge 1}{A}_n\in \mathcal{D}\backslash Omega\backslash in\backslash mathcal\; D,\backslash quad\; A\backslash in\backslash mathcal\; D\backslash Rightarrow\; A^c\backslash in\backslash mathcal\; D,\backslash quad\; (A\_n)\_\{n\backslash geq1\}\backslash subset\backslash mathcal\; D\backslash text\{\; deux\; à\; deux\; disjoints\}\backslash Rightarrow\backslash bigcup\_\{n\backslash geq1\}A\_n\backslash in\backslash mathcal\; D$. Le complémentaire est toujours pris relativement à Ω.

Une famille de parties de Ω, notée 𝒫, est une π-classe si l'intersection de deux de ses éléments appartient encore à 𝒫. Par récurrence, cette propriété vaut pour toute intersection finie non vide. La tribu engendrée par 𝒫, notée σ(𝒫), est la plus petite tribu contenant 𝒫.

Le théorème π-λ de Dynkin relie ces deux structures : dès que 𝒫 est incluse dans 𝒟, la famille 𝒟 contient σ(𝒫). Un système de Dynkin n'est pourtant pas nécessairement une tribu, car ses axiomes n'imposent directement l'union que pour des ensembles deux à deux disjoints.

Soit Ω un ensemble. Si une π-classe 𝒫 de parties de Ω est contenue dans un système de Dynkin 𝒟 sur Ω, alors la tribu engendrée par 𝒫 est elle aussi contenue dans 𝒟 : $\mathcal{P}\subset \mathcal{D}⟹\sigma (\mathcal{P})\subset \mathcal{D}\backslash mathcal\; P\backslash subset\backslash mathcal\; D\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\backslash sigma(\backslash mathcal\; P)\backslash subset\backslash mathcal\; D$. Il suffit donc de vérifier une propriété sur 𝒫 lorsque les ensembles qui possèdent cette propriété forment un système de Dynkin.

Le théorème porte sur des parties d'un même ensemble total Ω. Il faut vérifier trois points : la famille 𝒫 est stable par intersection finie ; la famille 𝒟 contient Ω, les complémentaires relatifs à Ω et les unions dénombrables disjointes ; enfin, chaque élément de 𝒫 appartient à 𝒟. La conclusion concerne alors toute la tribu σ(𝒫), sans exiger de tester séparément chacun de ses ensembles.

Si la famille de départ n'est pas une π-classe, l'implication ne peut pas être appliquée telle quelle. Par exemple, si deux ensembles de départ se coupent mais que leur intersection manque à la famille, il faut d'abord l'ajouter et vérifier que la famille ainsi complétée reste contenue dans 𝒟, ou choisir une autre π-classe génératrice.

Prenons l'ensemble total Ω = {1, 2, 3, 4}. Posons A = {1, 2}, B = {2, 3} et C = {2}. La famille de départ est 𝒫 = {A, B, C}. La figure matérialise les quatre zones élémentaires distinguées par A et B.

1. Les intersections restent dans 𝒫 : A ∩ B = C, A ∩ C = C et B ∩ C = C. La famille 𝒫 est donc une π-classe.
2. Supposons que 𝒟 soit un système de Dynkin contenant A, B et C.
3. Comme C ⊂ A, les ensembles A^c et C sont disjoints et appartiennent à 𝒟 ; leur réunion puis son complémentaire y appartiennent donc aussi, d'où A ∖ C = (A^c ∪ C)^c = {1}. Le même raisonnement avec C ⊂ B donne B ∖ C = (B^c ∪ C)^c = {3} dans 𝒟.
4. Les ensembles {1}, C et {3} sont disjoints. Leur réunion appartient à 𝒟, puis son complémentaire {4} aussi.
5. Les quatre singletons appartiennent donc à 𝒟. Toute partie de Ω est leur réunion disjointe, donc appartient à 𝒟.

Le contrôle est immédiat : Ω possède 2⁴ = 16 parties. Le raisonnement les place toutes dans 𝒟, ce qui confirme ici la conclusion σ(𝒫) = 𝒫(Ω) ⊂ 𝒟.

Pour établir que deux probabilités coïncident sur une tribu, on commence souvent par une π-classe génératrice simple. La famille des ensembles sur lesquels elles coïncident forme alors un système de Dynkin, et le théorème étend l'égalité à toute la tribu. Une vérification ensemble par ensemble serait impraticable.

En probabilités, le même geste propage une propriété connue sur des événements générateurs. On préfère une preuve directe lorsque la propriété n'est pas stable par complémentaire ou par réunion dénombrable disjointe, car la famille des cas favorables ne forme alors pas un système de Dynkin.

Le bon réflexe consiste à définir la famille 𝒟 par la propriété à étendre, puis à vérifier ses trois axiomes. La difficulté se concentre ainsi sur la stabilité de la propriété, tandis que la π-classe fournit un petit ensemble de tests.

Système de Dynkin et tribu. Une tribu est stable par toutes les unions dénombrables ; un système de Dynkin ne demande cette stabilité que pour des ensembles deux à deux disjoints. Une famille qui satisfait seulement la seconde condition ne peut donc pas être appelée tribu sans vérification supplémentaire.

π-classe et système de Dynkin. La π-classe est définie par la stabilité sous intersection finie. Le système de Dynkin est défini par l'ensemble total, les complémentaires et les unions dénombrables disjointes. Dans l'exemple, 𝒫 = {A, B, C} est une π-classe, mais elle ne contient pas Ω et n'est donc pas le système de Dynkin utilisé.

Théorème π-λ et théorème des classes monotones. Les deux résultats servent à étendre une propriété depuis une famille génératrice, mais ils n'emploient pas les mêmes familles stables. Ici, l'énoncé précis est celui d'une π-classe contenue dans un système de Dynkin.

Intersection manquante. La simple présence de quelques générateurs dans 𝒟 ne suffit pas. Si leur famille n'est pas stable par intersection finie, le symptôme est une intersection absente ; il faut compléter la famille en π-classe avant d'invoquer le théorème.

Réunions non disjointes. Les axiomes d'un système de Dynkin ne permettent pas de réunir directement deux ensembles qui se chevauchent. Il faut les décomposer en morceaux disjoints dont l'appartenance au système est établie, ou obtenir la stabilité supplémentaire grâce au théorème.

Complémentaire ambigu. Le complémentaire dépend de l'ensemble total Ω. Changer Ω change l'opération et peut changer la famille. Il faut donc fixer le même univers pour 𝒫, 𝒟 et σ(𝒫) avant toute vérification.

Famille vide. Une π-classe peut être vide selon la convention adoptée. Elle ne fournit alors aucun générateur utile, tandis qu'un système de Dynkin doit toujours contenir Ω. Pour une application non triviale, on choisit explicitement une π-classe génératrice non vide.

La notion de tribu précise la structure que le théorème permet d'atteindre à partir d'une π-classe génératrice.

La Classe monotone présente l'autre famille de stabilité couramment employée pour prolonger une propriété à des ensembles engendrés.