ArithmétiqueNotion · Glossaire
Classe monotone
Une classe monotone est une collection de sous-ensembles d'un ensemble de référence qui est stable par réunions croissantes et par intersections décroissantes dénombrables. Le théorème des classes monotones affirme que la plus petite classe monotone contenant une algèbre de parties coïncide avec la tribu engendrée par cette algèbre. Ce résultat est un outil fondamental en théorie de la mesure pour étendre des propriétés vérifiées sur des classes simples à des tribus entières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les unions croissantes et les intersections décroissantes.
- Recalculer les limites de deux suites d'intervalles emboîtés.
- Identifier l'hypothèse d'algèbre dans le théorème des classes monotones.
- Distinguer une classe monotone d'une tribu et d'une classe de Dynkin.
En clair
Sur l'intervalle [0, 1], imaginez des segments emboîtés qui s'allongent vers 1. Leur réunion rassemble tous les points atteints au fil de la suite. Inversement, des segments qui se resserrent vers 0 ne conservent que les points présents à chaque étape.
Une classe monotone accepte ces deux passages à la limite : elle garde la réunion d'une suite croissante et l'intersection d'une suite décroissante. Cette stabilité suffit souvent à transporter une propriété connue sur des ensembles simples vers des ensembles beaucoup plus variés.
Définition
Fixons un ensemble de référence E. Une classe monotone, notée ℳ, est une collection de parties de E fermée pour deux opérations sur des suites emboîtées. La première concerne une suite croissante : chaque ensemble est inclus dans le suivant. La seconde concerne une suite décroissante : chaque ensemble contient le suivant.
Si tous les ensembles An et Bn appartiennent à ℳ, les deux conditions s'écrivent :
La réunion ou l'intersection porte sur une suite dénombrable. Aucune fermeture sous une réunion arbitraire de membres non emboîtés n'est exigée.
Dans la forme usuelle du théorème des classes monotones, on part d'une algèbre de parties de E, c'est-à-dire d'une collection fermée sous complémentaire dans E et sous réunion finie. La plus petite classe monotone qui la contient est alors exactement la tribu qu'elle engendre. Le théorème transforme ainsi deux stabilités séquentielles en un moyen d'atteindre tous les ensembles mesurables engendrés.
Un exemple, pas à pas
Prenons E = [0, 1]. Pour chaque entier n au moins égal à 1, posons An = [0, 1 − 1/(n + 1)] et Bn = [0, 1/n]. Les données sont donc deux suites d'intervalles fermés, l'une croissante et l'autre décroissante.
1. Les premiers ensembles croissants sont A1 = [0, 1/2], A2 = [0, 2/3] et A4 = [0, 4/5]. Leur extrémité droite s'approche de 1 sans jamais l'atteindre.
2. Tout nombre x strictement inférieur à 1 finit par appartenir à An, tandis que 1 n'appartient à aucun de ces ensembles. Ainsi : .
3. Pour la suite décroissante, B1 = [0, 1], B2 = [0, 1/2] et B4 = [0, 1/4]. Seul 0 appartient à tous les Bn, donc .
4. Toute classe monotone qui contient ces intervalles doit donc contenir [0, 1) et {0}. Plus largement, si elle contient l'algèbre engendrée par les intervalles de E, le théorème lui impose de contenir toute la tribu borélienne de [0, 1].
Le contrôle est direct : un demi est inférieur à deux tiers, lui-même inférieur à quatre cinquièmes, ce qui confirme la croissance des An. Inversement, 1 est supérieur à un demi, lui-même supérieur à un quart, ce qui confirme la décroissance des Bn.
En pratique
Pour étendre une propriété d'ensembles, on rassemble dans ℳ toutes les parties de E pour lesquelles elle est vraie. Le geste utile consiste à montrer que ℳ contient une algèbre génératrice, puis qu'elle résiste aux unions croissantes et aux intersections décroissantes. Le théorème conclut alors pour la tribu engendrée.
Cette stratégie intervient pour prouver que deux mesures finies coïncident. Si elles donnent la même valeur aux ensembles d'une algèbre et si l'égalité est préservée lors des deux passages à la limite, elles coïncident sur la tribu engendrée.
La même architecture aide à construire une mesure produit : on vérifie d'abord une identité sur des rectangles mesurables, puis on l'étend. Lorsque la classe de départ n'est stable que par intersections finies, l'argument par système π et classe de Dynkin est l'alternative adaptée.
À ne pas confondre
Tribu. Une tribu est fermée sous complémentaire et sous réunion dénombrable quelconque. Une classe monotone ne demande que les réunions croissantes et les intersections décroissantes. Une tribu est donc toujours monotone, mais la réciproque n'est pas automatique.
Classe de Dynkin. Elle contient E, est stable par différence lorsque l'un des ensembles est inclus dans l'autre, et par réunions dénombrables disjointes. Son test de fermeture diffère de celui d'une classe monotone, même si les deux outils servent à des prolongements proches.
Suite monotone d'ensembles. Ce terme qualifie une suite précise, croissante ou décroissante. Une classe monotone est une collection qui reste fermée lorsque l'on prend la limite ensembliste de toute suite monotone qu'elle contient.
Limites et pièges
Ensembles non emboîtés. La stabilité monotone ne dit rien, à elle seule, sur la réunion de deux membres sans inclusion entre eux. Il faut vérifier une fermeture supplémentaire ou repartir d'une algèbre.
Simple système π. La fermeture sous intersections finies ne suffit pas, en général, pour que sa classe monotone engendrée soit sa tribu engendrée. Le théorème monotone usuel part d'une algèbre ; pour un système π, on emploie plutôt le théorème π-λ avec une classe de Dynkin.
Suite finie prise pour une condition suffisante. Tester quelques intervalles comme A1, A2 et A4 illustre l'emboîtement, mais ne prouve pas la fermeture. Il faut traiter toute suite dénombrable de membres de la classe.
Continuité décroissante d'une mesure. Dans une application aux mesures, passer de Bn à leur intersection exige en général qu'un Bn ait une mesure finie. Sans cette hypothèse, il faut chercher un autre contrôle au lieu de supposer la limite acquise.
Pour aller plus loin
tribu — Pour approfondir la structure obtenue après fermeture sous complémentaires et réunions dénombrables.
Mesure produit — Pour retrouver un domaine où l'extension depuis des rectangles simples devient essentielle.
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