Intersection

Deux boîtes contiennent des cartes numérotées. La première porte les nombres 1, 2, 3 et 5 ; la seconde, les nombres 2, 3 et 4. Chercher leur intersection revient à ne garder que les cartes présentes dans les deux boîtes. Ici, ce sont 2 et 3.

Le mot « et » donne le bon réflexe : un élément appartient à l'intersection seulement s'il satisfait les deux appartenances en même temps.

Soient deux ensembles nommés A et B. Leur intersection, notée A ∩ B, rassemble exactement les éléments qui appartiennent à A et à B. Pour tout élément x, ce critère s'écrit $x\in A\cap B⟺x\in A\text{ et }x\in Bx\; \backslash in\; A\; \backslash cap\; B\; \backslash iff\; x\; \backslash in\; A\; \backslash text\{\; et\; \}\; x\; \backslash in\; B$.

La définition s'étend à une famille d'ensembles : un élément doit alors appartenir à chacun d'eux. L'ordre et le regroupement ne changent pas le résultat, car l'intersection est commutative et associative. Elle est aussi distributive par rapport à l'union.

Lorsque A ∩ B ne contient aucun élément, elle est l'ensemble vide, noté ∅, et A et B sont dits disjoints. Dans un univers fixé, l'intersection et l'union sont duales : prendre les complémentaires transforme l'une en l'autre selon les lois de De Morgan.

On considère l'ensemble A = {1, 2, 3, 5} et l'ensemble B = {2, 3, 4}. Il faut déterminer A ∩ B. Les seules données sont les quatre éléments de A et les trois éléments de B.

1. Parcourir A : 1 n'est pas dans B, donc il est écarté.
2. Le nombre 2 appartient à A et à B, donc il est conservé.
3. Le nombre 3 appartient aussi aux deux ensembles, donc il est conservé.
4. Le nombre 5 n'est pas dans B, donc il est écarté.

Le résultat est A ∩ B = {2, 3}. Pour le contrôler, on vérifie dans les listes initiales que 2 et 3 figurent deux fois, tandis que 1, 4 et 5 ne figurent que dans un seul ensemble. Le schéma matérialise ce tri : la zone commune ne contient que 2 et 3.

Dans une enquête, l'intersection isole les personnes qui satisfont deux critères simultanés. Si l'on cherche celles qui satisfont au moins un critère, il faut employer l'union.

Dans une base de données, deux filtres reliés par « et » sélectionnent l'intersection de leurs résultats. Un filtre relié par « ou » convient lorsque l'un des deux critères suffit.

En probabilités, l'intersection de deux événements décrit leur réalisation simultanée. On la distingue de l'union en demandant si les deux événements doivent avoir lieu, ou seulement l'un d'eux.

Intersection et union. L'intersection exige l'appartenance aux deux ensembles ; l'union accepte l'appartenance à l'un au moins. Avec A = {1, 2, 3, 5} et B = {2, 3, 4}, l'intersection vaut {2, 3}, tandis que l'union vaut {1, 2, 3, 4, 5}.

Intersection et différence. La différence A privé de B conserve les éléments de A qui ne sont pas dans B. Dans le même exemple, elle vaut {1, 5}, et non {2, 3}.

Intersection vide. Deux ensembles peuvent chacun contenir des éléments sans en partager aucun. Le symptôme est qu'aucun candidat ne passe le double test d'appartenance ; on écrit alors A ∩ B = ∅ et on dit que les ensembles sont disjoints.

Ensemble inclus dans l'autre. Si chaque élément de A appartient aussi à B, la zone commune est tout A : A ∩ B = A. Il ne faut pas chercher une partie plus petite par principe.

Famille vide. L'intersection d'une famille sans aucun ensemble dépend de l'univers de référence choisi. Sans univers explicitement fixé, cette intersection n'a pas de valeur universelle à deviner ; il faut préciser le cadre.

Apparences répétées. Un ensemble ne compte pas les doublons. Si un nombre est écrit plusieurs fois dans une liste, sa multiplicité ne change pas l'intersection ; on ne le conserve qu'une fois.

De Morgan (lois de) montre comment le complémentaire transforme une intersection en union et réciproquement.

complémentaire d'un ensemble précise le rôle de l'univers de référence dans cette dualité.