Logique et ensemblesFormule · Glossaire
De Morgan (lois de)
Les lois de De Morgan sont deux règles fondamentales de logique et de théorie des ensembles. En logique, elles affirment que la négation d'une conjonction est la disjonction des négations (non(A et B) = (non A) ou (non B)), et que la négation d'une disjonction est la conjonction des négations (non(A ou B) = (non A) et (non B)). En théorie des ensembles, le complémentaire de l'union est l'intersection des complémentaires, et le complémentaire de l'intersection est l'union des complémentaires. Ces lois permettent de simplifier les expressions logiques et ensemblistes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les deux lois en langage courant et dans leur notation logique.
- Passer des identités logiques à leurs versions sur les ensembles.
- Vérifier les deux égalités sur les nombres de 1 à 8.
- Choisir correctement l’univers d’un complément.
- Éviter les erreurs de parenthèses et l’emploi d’un « ou » exclusif.
En clair
Imaginez huit cartes numérotées de 1 à 8. On écarte toutes celles qui portent un nombre pair ou un nombre supérieur à 5. Il reste 1, 3 et 5. On obtient exactement les mêmes cartes en gardant à la fois les nombres impairs et les nombres inférieurs ou égaux à 5.
Les lois de De Morgan expriment ce retournement : nier un « ou » transforme chaque condition en son contraire et relie ces contraires par « et ». Nier un « et » produit de la même façon un « ou ».
Définition
Les lois de De Morgan relient la négation aux deux opérations logiques « et » et « ou ». Soient A et B deux propositions, chacune vraie ou fausse. Le symbole ¬ signifie « non », le symbole ∧ désigne la conjonction « et » et le symbole ∨ désigne la disjonction inclusive « ou ». Nier la proposition entière A et B revient à nier au moins l’une des deux propositions. Nier la proposition entière A ou B revient à les nier toutes les deux. Les deux identités sont et .
La version ensembliste se lit dans un univers fixé, noté U. Soient E et F deux sous-ensembles de U. Le complémentaire Ec rassemble les éléments de U qui ne sont pas dans E ; Fc se définit de même. Le complémentaire de l’intersection E ∩ F est l’union des complémentaires, tandis que le complémentaire de l’union E ∪ F est leur intersection : et . Ces règles simplifient une expression en faisant passer la négation ou le complément à l’intérieur des parenthèses, tout en échangeant « et » avec « ou », ou ∩ avec ∪.
Le principe
Soient A et B deux propositions. Avec ¬ pour la négation, ∧ pour « et » et ∨ pour le « ou » inclusif, les lois s’écrivent : et .
Pour deux sous-ensembles E et F d’un même univers, remplacer la négation par le complément donne et . La règle opératoire est donc double : complémenter chaque terme et échanger les deux opérations.
Quand l'utiliser
En logique, A et B doivent être des propositions auxquelles on attribue une valeur vraie ou fausse, et « ou » désigne la disjonction inclusive. Il faut aussi que la négation porte sur toute l’expression entre parenthèses. Dans ces conditions, la transformation produit une proposition de même valeur de vérité.
Pour les ensembles, E et F doivent être considérés dans le même univers U, car tout complément dépend de cet univers. Avec E = {2, 4, 6, 8}, son complément vaut {1, 3, 5, 7} dans U = {1, …, 8}, mais il contient une infinité d’autres entiers si l’univers est ℤ. Sans univers précisé, le calcul du complément est donc indéterminé ; il faut d’abord fixer U ou travailler directement avec une différence d’ensembles explicitement nommée.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l’univers U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. L’ensemble A contient les nombres pairs : A = {2, 4, 6, 8}. L’ensemble B contient les nombres strictement supérieurs à 5 : B = {6, 7, 8}. L’objectif est de vérifier les deux lois avec ces mêmes données.
1. Former les complémentaires : Ac = {1, 3, 5, 7} et Bc = {1, 2, 3, 4, 5}.
2. Calculer A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 8}, puis son complément : (A ∪ B)c = {1, 3, 5}.
3. Intersecter les deux complémentaires : Ac ∩ Bc = {1, 3, 5}. La première égalité est vérifiée.
2. Calculer A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 8}, puis son complément : (A ∪ B)c = {1, 3, 5}.
3. Intersecter les deux complémentaires : Ac ∩ Bc = {1, 3, 5}. La première égalité est vérifiée.
4. Calculer A ∩ B = {6, 8}, puis (A ∩ B)c = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Or Ac ∪ Bc donne la même liste : la seconde égalité est vérifiée. Un contrôle élément par élément confirme le résultat : 7 n’appartient pas à A ∩ B et figure dans Ac, tandis que 6 appartient à A ∩ B et ne figure dans aucun des deux côtés complémentaires.
En pratique
Pour nier une condition logique, on applique la loi à l’expression entière. « Le nombre est pair et supérieur à 5 » devient « le nombre est impair ou inférieur ou égal à 5 ». Une table de vérité reste une alternative utile lorsque plusieurs parenthèses rendent la portée de la négation difficile à suivre.
Pour calculer le complément d’une union, on peut chercher séparément ce qui est hors de chaque ensemble, puis prendre l’intersection. Cette voie est préférable lorsque les complémentaires sont plus courts à décrire. Dans un univers fini de quelques éléments, l’énumération directe reste souvent le contrôle le plus rapide.
Pour simplifier une expression de l’algèbre de Boole, la transformation fait descendre une négation vers les propositions élémentaires. Si la forme obtenue multiplie au contraire les opérations, conserver l’expression initiale peut être plus lisible : les deux formes sont équivalentes, pas toujours également commodes.
À ne pas confondre
Lois de De Morgan et distributivité. Les lois de De Morgan exigent une négation ou un complément et échangent ∧ avec ∨, ou ∩ avec ∪. La distributivité, elle, développe une opération autour d’une autre sans complément. Ainsi, E ∩ (F ∪ G) relève de la distributivité, tandis que (E ∩ F)c relève de De Morgan.
Complément et différence d’ensembles. Le complément de A contient tout ce qui est hors de A dans l’univers U ; la différence A ∖ B ne conserve que les éléments de A absents de B. Dans l’exemple, Ac = {1, 3, 5, 7}, alors que A ∖ B = {2, 4}.
Limites et pièges
Univers oublié. Écrire Ac sans savoir dans quel univers on travaille peut donner une liste fausse ou incomplète. Il faut annoncer U avant de calculer ; dans l’exemple, U est exactement {1, …, 8}.
Parenthèses déplacées. ¬(A ∧ B) n’est pas ¬A ∧ B. Si A est vraie et B fausse, la première expression est vraie, tandis que la seconde est fausse. Il faut d’abord repérer toute la sous-expression visée par la négation, puis nier chaque terme et échanger l’opération.
« Ou » exclusif. Les lois utilisent le « ou » inclusif : A ∨ B est vraie quand les deux propositions sont vraies. Si « ou » signifie « l’un ou l’autre, mais pas les deux », la formule donnée ne s’applique pas. Avec A et B vraies, la négation du « ou » exclusif est vraie, mais ¬A ∧ ¬B est fausse ; il faut alors écrire explicitement l’opérateur exclusif.
Ensemble vide ou univers entier. Ces cas ne sont pas des exceptions. Si A est vide, son complément est U ; si A = U, son complément est vide. On applique les mêmes deux transformations, puis on simplifie avec ces valeurs.
Pour aller plus loin
L’algèbre de Boole situe les deux lois parmi les opérations et identités de la logique booléenne.
Le complémentaire d'un ensemble précise pourquoi l’univers de référence doit être fixé avant tout calcul.
L’Intersection approfondit l’opération qui conserve les éléments communs après le passage aux complémentaires.
La théorie des ensembles pour tous élargit le contexte dans lequel union, intersection et complémentaire prennent sens.
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