Morgan Augustus De

Né en Inde en 1806, Augustus De Morgan rejoint jeune l’Angleterre, où il étudie puis enseigne les mathématiques dans une université londonienne. En 1838, il donne le nom d’« induction mathématique » au raisonnement aujourd’hui appelé raisonnement par récurrence.

Son nom reste surtout attaché à deux règles de logique. Elles montrent comment nier une phrase formée avec « et » ou « ou » : la négation change le connecteur et porte séparément sur chaque proposition.

Augustus De Morgan (1806–1871) est un mathématicien et logicien britannique. Né en Inde, il poursuit ses études en Angleterre et enseigne les mathématiques dans une université londonienne, bien qu’il n’ait encore aucune publication scientifique lors de son recrutement. Il introduit en 1838 l’expression « induction mathématique » pour le raisonnement par récurrence. En 1849, dans Trigonometry and double algebra, il propose une interprétation géométrique des nombres complexes. Pionnier de la logique formelle et de l’algèbre symbolique, il influence des travaux repris et développés par Boole, Frege et Peirce. Il entretient aussi une abondante correspondance avec Babbage et Hamilton.

Les lois qui lui sont attribuées portent sur deux propositions, notées P et Q. La première affirme que nier leur conjonction revient à nier au moins l’une des deux. La seconde affirme que nier leur disjonction revient à les nier toutes les deux. Ces équivalences de logique propositionnelle s’écrivent : $\mathrm{\neg }(P\wedge Q)\equiv (\mathrm{\neg }P)\vee (\mathrm{\neg }Q)\backslash neg(P\; \backslash land\; Q)\; \backslash equiv\; (\backslash neg\; P)\; \backslash lor\; (\backslash neg\; Q)$ et $\mathrm{\neg }(P\vee Q)\equiv (\mathrm{\neg }P)\wedge (\mathrm{\neg }Q)\backslash neg(P\; \backslash lor\; Q)\; \backslash equiv\; (\backslash neg\; P)\; \backslash land\; (\backslash neg\; Q)$. Elles ne dépendent pas du contenu particulier de P et Q, mais de leurs valeurs de vérité et des connecteurs employés.

Deux propositions décrivent un panneau : P signifie « la lampe rouge est allumée » et Q signifie « la lampe jaune est allumée ». La lampe rouge est allumée, tandis que la lampe jaune est éteinte. Ainsi, P est vraie et Q est fausse.

1. Évaluez « P et Q » : la conjonction est fausse, puisque Q est fausse.
2. Niez ce résultat : « non(P et Q) » est donc vraie.
3. Évaluez séparément « non P » et « non Q » : elles sont respectivement fausse et vraie. Leur disjonction est vraie, ce qui vérifie la première loi.
4. Évaluez « P ou Q » : la disjonction est vraie, puisque P est vraie. Sa négation est fausse.
5. La conjonction « (non P) et (non Q) » est également fausse. La seconde loi est donc vérifiée sur ce cas.

Le contrôle consiste à comparer les deux côtés de chaque équivalence : vraie des deux côtés pour la première loi, fausse des deux côtés pour la seconde.

Dans une phrase logique, les lois de Morgan servent à déplacer une négation placée devant « et » ou « ou ». On change alors le connecteur et l’on nie chacune des propositions.

Pour contrôler la transformation, attribuez des valeurs de vérité aux propositions. Si les deux formulations donnent toujours le même résultat pour les mêmes valeurs, l’équivalence est respectée. Pour deux propositions, les quatre couples vrai–vrai, vrai–faux, faux–vrai et faux–faux suffisent.

Lorsque la négation ne porte pas sur une conjonction ou une disjonction complète, il faut conserver les parenthèses et identifier d’abord sa portée. Une lecture directe est préférable à l’application mécanique d’une loi qui ne correspond pas à la structure de la phrase.

Les lois de Morgan et le raisonnement par récurrence. Les premières transforment la négation d’une conjonction ou d’une disjonction. Le second établit une propriété de proche en proche ; De Morgan a introduit l’expression « induction mathématique » pour le désigner en 1838.

Les lois de Morgan et son interprétation des nombres complexes. Une expression où une négation porte sur une conjonction ou une disjonction complète relève des lois de Morgan : on inverse le connecteur et l’on nie chaque proposition. Une représentation géométrique d’un nombre complexe renvoie à son travail publié en 1849 dans Trigonometry and double algebra.

Nier « P et Q » ne signifie pas que P et Q sont toutes deux fausses. Il suffit qu’une seule soit fausse. Dans l’exemple des lampes, P est vraie et Q est fausse, mais « non(P et Q) » est bien vraie.

Les parenthèses fixent la portée de la négation. « non P et Q » nie seulement P si aucune parenthèse ne groupe l’ensemble. Pour appliquer une loi de Morgan, il faut d’abord isoler une expression complète de la forme « non(P et Q) » ou « non(P ou Q) ».

Le « ou » des lois est la disjonction logique. Elle est vraie dès qu’au moins une proposition est vraie, y compris lorsque les deux le sont. Si un contexte impose un choix exclusif, cette convention doit être traitée séparément.

L’attribution demande de la mesure. La source dit que les lois sont attribuées à De Morgan ; elle ne permet pas d’en déduire qu’il serait l’unique auteur historique de toutes leurs formulations.

Le raisonnement par récurrence éclaire le procédé que De Morgan a nommé « induction mathématique » en 1838.

Le portrait de Boole George prolonge l’histoire de l’algèbre symbolique développée après les travaux de De Morgan.