Logique et ensemblesOutil · Glossaire
table de vérité
Une table de vérité est un tableau utilisé en logique formelle, en algèbre de Boole, en calcul propositionnel, en informatique et en électronique numérique. Elle recense de manière exhaustive toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité attribuées aux variables d'entrée, et indique pour chacune la valeur de vérité résultante des expressions logiques considérées. Les premières colonnes du tableau contiennent les variables et leurs valeurs (1 pour « vrai », 0 pour « faux »), tandis que les colonnes suivantes donnent les résultats des opérations logiques — conjonction, disjonction, négation, implication, etc. — appliquées à ces variables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les entrées, les sous-expressions et la colonne de résultat.
- Construire les 2 puissance n lignes sans oublier de combinaison.
- Évaluer une conjonction puis une implication sur quatre cas.
- Reconnaître une tautologie et éviter les principaux pièges de lecture.
En clair
Imaginez deux interrupteurs, chacun dans l’un de deux états : allumé, noté 1, ou éteint, noté 0. Il existe quatre couples d’états possibles. Une table de vérité les range ligne par ligne, sans en oublier aucun.
On peut alors lire ce que produit une règle logique pour chaque couple. Par exemple, la règle « P et Q » vaut 1 uniquement lorsque P et Q valent tous deux 1. La table transforme ainsi une phrase logique en vérification exhaustive.
Définition
Une table de vérité est une représentation tabulaire de la valeur d’une expression logique pour toutes les valeurs possibles de ses variables. Dans le cadre binaire usuel, chaque variable prend la valeur 1 pour « vrai » ou 0 pour « faux ». Avec un nombre de variables noté n, la table comporte 2n lignes de données : deux pour une variable, quatre pour deux variables, huit pour trois variables.
Les premières colonnes donnent les valeurs des variables. Les suivantes évaluent les sous-expressions, puis l’expression complète. La négation de P, notée , inverse sa valeur. La conjonction P ∧ Q vaut 1 seulement si P et Q valent 1. La disjonction inclusive P ∨ Q vaut 1 dès qu’au moins l’une des deux variables vaut 1. L’implication vaut 0 dans le seul cas où P vaut 1 et Q vaut 0. Cette méthode s’applique en logique formelle, en calcul propositionnel, en algèbre de Boole, en informatique et en électronique numérique.
Où on le rencontre
Dans un exercice de logique, un schéma de circuit ou la description d’une condition informatique, la table de vérité se reconnaît à sa grille de 0 et de 1. Les colonnes de gauche portent des variables comme P et Q. Les autres portent des opérations ou des expressions, par exemple P ∧ Q.
Chaque ligne correspond à une combinaison différente des entrées, et toutes les combinaisons figurent une fois. Une dernière colonne donne généralement la valeur de l’expression étudiée. Le support encode donc une règle logique complète : il montre son résultat dans chaque cas possible, et pas seulement dans quelques exemples choisis.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est une valeur de vérité : 1 signifie « vrai » et 0 signifie « faux ». Cette convention doit être vérifiée, car certains textes emploient plutôt V et F.
1. Repérez les colonnes des variables d’entrée. Pour P et Q, contrôlez que les quatre couples 11, 10, 01 et 00 sont présents une seule fois. Leur ordre peut changer sans modifier la table.
2. Évaluez les opérations de l’intérieur vers l’extérieur. Dans (P ∧ Q) → P, calculez d’abord P ∧ Q, puis utilisez cette colonne comme antécédent de l’implication.
3. Lisez la dernière colonne pour conclure. Une colonne remplie de 1 signale une expression toujours vraie. Le piège visuel consiste à lire l’implication comme une relation de cause à effet ; son tableau impose seulement qu’elle soit fausse lorsque l’antécédent vaut 1 et la conclusion 0.
Un exemple, pas à pas
Étudions l’expression « si P et Q, alors P ». Les données sont deux variables binaires P et Q, les quatre couples 11, 10, 01 et 00, la conjonction P ∧ Q et l’implication (P ∧ Q) → P.
1. Pour P = 1 et Q = 1, la conjonction vaut 1. L’implication 1 → 1 vaut donc 1.
2. Pour P = 1 et Q = 0, la conjonction vaut 0. L’implication 0 → 1 vaut 1.
3. Pour P = 0 et Q = 1, puis pour P = 0 et Q = 0, la conjonction vaut 0. Dans les deux lignes, l’implication a un antécédent faux et vaut 1.
La représentation des quatre lignes rend visible le calcul de la colonne intermédiaire avant celui de la conclusion.
La dernière colonne contient donc 1, 1, 1, 1 : l’expression est toujours vraie, autrement dit c’est une tautologie. Pour contrôler le résultat, cherchez l’unique cas qui rendrait une implication fausse : il faudrait P ∧ Q = 1 et P = 0, combinaison impossible puisque P ∧ Q = 1 exige P = 1.
En pratique
En logique formelle, on construit la table pour vérifier si une expression est toujours vraie, toujours fausse ou variable selon les entrées. Une démonstration symbolique est souvent préférable lorsque le nombre de variables rend les lignes trop nombreuses.
En informatique, on l’emploie pour contrôler une condition composée avant de l’écrire dans un programme. Lorsque le domaine des entrées ou leur nombre rend une vérification exhaustive impraticable, on recourt à des tests ciblés ; ils ne sont toutefois pas équivalents à une table exhaustive.
En électronique numérique, la table associe les entrées d’un circuit logique à sa sortie. Elle convient lorsque le comportement attendu est discret et exhaustif ; un schéma de portes est ensuite plus adapté pour montrer la réalisation matérielle de ce comportement.
À ne pas confondre
Table de vérité et table de multiplication. La première énumère des valeurs logiques et applique des connecteurs ; la seconde donne des produits numériques. Une grille dont les entrées sont P, Q et dont la sortie vaut vrai ou faux relève de la logique.
Implication logique et équivalence logique. P → Q n’est fausse que lorsque P vaut 1 et Q vaut 0. P ↔ Q vaut 1 lorsque P et Q ont la même valeur. La ligne P = 0, Q = 1 tranche : l’implication vaut 1, l’équivalence vaut 0.
Disjonction inclusive et « ou » exclusif. P ∨ Q accepte le cas où P et Q valent tous deux 1. Le « ou » exclusif le refuse. La ligne P = 1, Q = 1 suffit donc à séparer les deux opérations.
Limites et pièges
Ligne oubliée. Avec n variables binaires, il faut exactement 2n lignes de données. Pour deux variables, trois lignes au lieu de quatre signalent une combinaison absente ; il faut énumérer systématiquement 11, 10, 01 et 00.
Colonnes calculées dans le désordre. Une valeur finale incohérente apparaît si une sous-expression est sautée. Il faut créer une colonne par étape utile et respecter les parenthèses, par exemple calculer P ∧ Q avant (P ∧ Q) → P.
Sens ordinaire de l’implication. Une phrase comme P → Q ne décrit pas nécessairement une cause. Le symptôme est de déclarer faux le cas P = 0, Q = 0 ; il faut appliquer la règle logique, selon laquelle seule la ligne 1 → 0 est fausse.
Explosion du nombre de lignes. Chaque variable ajoutée double la table : dix variables produisent 210 = 1 024 lignes. Lorsque l’exhaustivité devient illisible, il vaut mieux simplifier l’expression ou employer une méthode symbolique adaptée.
Pour aller plus loin
Algèbre de Boole — Pour replacer les connecteurs et les valeurs binaires dans le système de calcul auquel appartiennent les tables de vérité.
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