Logique et ensemblesNotion · Glossaire
tautologie
En logique propositionnelle classique bivalente, une tautologie est une formule vraie pour toute valuation de ses variables, quels que soient les choix « vrai » ou « faux » attribués à chacune. On la reconnaît à sa table de vérité, dont la colonne finale ne contient que « vrai » : une seule ligne fausse suffit donc à montrer qu’une formule n’est pas une tautologie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une tautologie par l'ensemble des valuations possibles.
- Vérifier A ∨ ¬A sur les deux lignes de sa table de vérité.
- Distinguer tautologie, contradiction et formule contingente.
- Séparer le sens logique du mot de son usage courant plus large.
- Repérer les erreurs causées par une valuation oubliée ou un cadre logique implicite.
En clair
Prenez une affirmation notée A. Elle est soit vraie, soit fausse. Si A est vraie, la phrase « A ou non-A » est vraie grâce à A. Si A est fausse, non-A est vraie, donc la phrase entière reste vraie.
Une tautologie possède cette solidité : changez les valeurs de vérité de ses variables, le résultat ne devient jamais faux. Ce n'est pas son sujet qui la rend vraie, mais sa forme logique.
Définition
Une formule propositionnelle est construite à partir de variables, comme A et B, et de connecteurs logiques tels que la négation ¬, la conjonction ∧ et la disjonction ∨. Une valuation attribue à chaque variable l'une des deux valeurs de vérité : vrai ou faux. Une formule est une tautologie lorsque son évaluation vaut vrai pour chacune des valuations possibles.
Si A est l'unique variable, la formule du tiers exclu A ∨ ¬A est vraie lorsque A est vraie et reste vraie lorsque A est fausse. De même, ¬(A ∧ ¬A), forme propositionnelle de la non-contradiction, est vraie dans les deux cas. Une table de vérité certifie donc une tautologie lorsque toute la colonne de la formule finale contient vrai.
Cette définition concerne ici la logique propositionnelle classique à deux valeurs. Elle ne dit pas qu'une variable isolée est toujours vraie : elle affirme que l'assemblage complet conserve la valeur vrai, quels que soient les choix effectués pour ses variables.
Un exemple, pas à pas
Vérifions la formule A ∨ ¬A. Les données sont une variable propositionnelle A, deux valuations possibles — vrai et faux —, la négation ¬A et la disjonction « ou », notée ∨.
1. Attribuons d'abord la valeur vrai à A. Sa négation ¬A vaut alors faux. La disjonction vrai ou faux vaut vrai.
2. Attribuons ensuite la valeur faux à A. Sa négation ¬A vaut alors vrai. La disjonction faux ou vrai vaut encore vrai. La figure rassemble ces deux calculs.
3. Nous avons examiné les deux valuations possibles, et la colonne de A ∨ ¬A ne contient que vrai. La formule est donc une tautologie.
4. Le contrôle est exhaustif : avec une seule variable pouvant prendre deux valeurs, il n'existe pas de troisième ligne à tester dans ce cadre bivalent.
En pratique
Pour décider si une formule comportant peu de variables est une tautologie, construisez sa table de vérité et inspectez la colonne finale. Une seule ligne fausse suffit à l'écarter ; si toutes les lignes sont vraies, la vérification est exhaustive.
Pour tester si deux formules expriment toujours la même valeur de vérité, reliez-les par une équivalence logique, notée ↔. Si la formule ainsi obtenue est tautologique, aucune valuation ne sépare les deux expressions ; sinon, la ligne fausse fournit un contre-exemple.
Pour contrôler un raisonnement propositionnel, formez l'implication dont l'antécédent regroupe les prémisses et dont le conséquent est la conclusion. Une tautologie certifie la validité de cette forme de raisonnement ; une valuation fausse indique précisément où elle échoue.
À ne pas confondre
Tautologie et contradiction. Une tautologie est vraie sur toutes les lignes de sa table ; une contradiction est fausse sur toutes. Ainsi, A ∨ ¬A est tautologique, tandis que A ∧ ¬A est contradictoire.
Tautologie et formule contingente. Une formule contingente est vraie pour certaines valuations et fausse pour d'autres. La variable A, prise seule, est contingente : sa colonne contient une fois vrai et une fois faux.
Tautologie logique et répétition de langage. Dans l'usage courant, « tautologie » peut désigner une répétition inutile, un pléonasme ou un truisme. En logique, le critère testable n'est pas la redondance des mots : c'est la valeur vrai obtenue pour toute valuation.
Limites et pièges
Une ligne oubliée. Observer plusieurs cas vrais ne suffit pas. Avec deux variables, quatre valuations doivent être testées ; une colonne presque entièrement vraie n'est pas tautologique. Il faut énumérer toutes les valuations ou fournir une transformation logique qui les couvre toutes.
La vérité d'une variable prise pour preuve. Choisir A vraie rend A ∨ ¬A vraie, mais ne prouve pas encore la tautologie. Le symptôme est une conclusion tirée d'une seule attribution ; il faut aussi calculer la ligne où A est fausse.
Le cadre logique laissé implicite. Le test présenté repose sur des variables qui valent vrai ou faux et sur les connecteurs de la logique propositionnelle classique. Si un autre système logique est étudié, il faut employer ses règles sémantiques au lieu de transposer automatiquement cette table bivalente.
Pour aller plus loin
table de vérité — Apprendre à énumérer les valuations et à calculer méthodiquement la colonne finale d'une formule.
Principe du tiers exclu — Approfondir l'exemple A ∨ ¬A et la place de cette loi dans le raisonnement logique.
Non-contradiction (principe de) — Examiner pourquoi ¬(A ∧ ¬A) reste vraie quelle que soit la valeur attribuée à A.
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