Principe du tiers exclu

Prenons l'affirmation « 221 est un nombre premier ». En logique classique, deux voies seulement sont admises : cette affirmation est vraie, ou sa négation l'est. Il n'existe pas de troisième statut entre les deux. Ici, le calcul tranche : 221 possède les facteurs 13 et 17, donc l'affirmation est fausse.

Le partage en deux branches représente le tiers exclu. Il affirme qu'une branche est valable, mais ne fournit pas forcément le moyen de savoir laquelle.

Le principe du tiers exclu est une loi de la logique classique. Pour toute proposition, notée P, il affirme la disjonction entre P et sa négation, notée ¬P : $P\vee \mathrm{\neg }PP\; \backslash lor\; \backslash neg\; P$. La proposition porte ici un énoncé auquel la logique attribue une valeur de vérité ; le principe ne dit pas que l'on connaît cette valeur ni qu'une procédure permet toujours de la déterminer.

En logique classique, ce principe permet la forme forte du raisonnement par l'absurde. Si supposer ¬P conduit à une contradiction, on obtient d'abord la double négation ¬¬P, puis on conclut P. L'étape caractéristique est l'élimination de la double négation : $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }P\Rightarrow P\backslash neg\backslash neg\; P\; \backslash Rightarrow\; P$. En logique intuitionniste, cette étape et le tiers exclu ne sont pas admis en général. Une preuve doit alors construire P ou construire ¬P. Certaines propositions particulières restent toutefois décidables : on peut établir pour elles P ou ¬P sans adopter le principe pour toutes les propositions.

On examine la proposition P : « 221 est un nombre premier ». Les données sont l'entier 221 et les deux entiers 13 et 17, candidats comme facteurs.

1. Le tiers exclu pose deux branches : P, ou bien ¬P. Il ne choisit pas la branche à notre place.
2. On multiplie les deux facteurs annoncés : $13\times 17=22113\; \backslash times\; 17\; =\; 221$.
3. Comme 13 et 17 sont strictement supérieurs à 1 et strictement inférieurs à 221, cette égalité est une factorisation non triviale.
4. La proposition P est donc fausse, et sa négation ¬P est vraie : 221 n'est pas premier.

Le contrôle est refaisable par multiplication : 13 × 10 = 130 et 13 × 7 = 91, puis 130 + 91 = 221. Le calcul apporte la preuve de ¬P ; le tiers exclu garantissait seulement que P et ¬P épuisaient les possibilités classiques.

Dans une preuve classique, le tiers exclu autorise un raisonnement par cas : on étudie P, puis ¬P. Cette stratégie convient lorsque les deux branches conduisent à la même conclusion, même si aucune branche n'est choisie d'avance.

Pour une preuve par l'absurde visant une conclusion positive P, on suppose ¬P et on cherche une contradiction. Si la contradiction est obtenue, la logique classique élimine la double négation et retient P.

Lorsqu'un cadre exige une preuve constructive, l'absence de contre-exemple ne suffit pas toujours. Il faut alors produire directement une preuve de P, ou une méthode qui transforme les données en preuve, plutôt que d'invoquer le tiers exclu en général.

Tiers exclu et non-contradiction. Le tiers exclu affirme « P ou ¬P ». Le principe de non-contradiction interdit que P et ¬P soient vraies ensemble. Le premier exclut un troisième cas ; le second exclut leur coexistence.

Tiers exclu et décidabilité. Une proposition est décidable lorsqu'une preuve ou une procédure permet d'établir P ou ¬P. Le tiers exclu admet la disjonction sans fournir cette procédure. Pour 221, la factorisation par 13 et 17 décide effectivement le cas.

Tiers exclu et raisonnement par l'absurde. Le premier est un principe logique ; le second est une forme de preuve. Dans sa forme classique, le raisonnement conclut P après avoir rendu ¬P contradictoire.

Cadre intuitionniste. Le tiers exclu n'y est pas disponible pour une proposition arbitraire. Si aucune construction de P ni de ¬P n'est donnée, il faut conserver la question ouverte au lieu d'affirmer leur disjonction comme principe général.

Vérité inconnue. En logique classique, ne pas savoir prouver P ne rend pas ¬P vraie. Le symptôme du piège est le passage de « aucune preuve connue » à « faux ». Il faut apporter une preuve de la négation ou laisser le statut épistémique indéterminé.

Contradiction sans tiers exclu. Supposer Q et obtenir une contradiction établit ¬Q par introduction de la négation, y compris en logique intuitionniste. Le recours spécifiquement classique apparaît lorsqu'on suppose ¬P, obtient ¬¬P, puis conclut la proposition positive P.

Cas décidables. Le rejet intuitionniste du principe général ne signifie pas que toute alternative P ou ¬P est interdite. Quand une construction tranche un cas, comme la factorisation de 221, la disjonction particulière est démontrée.

La fiche Absurde approfondit le mécanisme d'une preuve qui transforme une hypothèse en contradiction.

La fiche Intuitionnisme présente le cadre constructif dans lequel le tiers exclu n'est pas accepté comme loi générale.