constructivisme - philosophie -

Imaginez que l'on affirme : « il existe un entier naturel dont le carré vaut 49 ». Donner l'entier 7, puis vérifier que 7² = 49, apporte un témoin que chacun peut contrôler. Un algorithme qui essaie successivement les entiers jusqu'à trouver 7 fournit aussi une construction.

Le constructivisme demande ce type de prise concrète. Une preuve d'existence doit montrer l'objet annoncé ou donner une procédure effective pour l'obtenir : une preuve de ¬¬∃x ne fournit pas nécessairement un témoin x attestant ∃x.

Le constructivisme mathématique est une position sur ce qui compte comme objet et comme preuve en mathématiques. Pour affirmer qu'un objet existe, une démonstration constructive doit en fournir un exemple explicite ou une méthode effective qui le produit. Le mot « effectif » signifie ici que les étapes de la méthode sont déterminées et peuvent, en principe, être exécutées.

Cette exigence modifie l'usage de certains principes de la logique classique. Le principe du tiers exclu affirme que, pour toute proposition, celle-ci est vraie ou sa négation l'est. Un raisonnement constructif ne l'emploie pas comme règle générale lorsqu'aucune procédure ne permet de décider entre les deux cas. De même, montrer que la négation d'une existence conduit à une contradiction ne construit pas nécessairement l'objet recherché. Une récurrence reste recevable lorsque son cas initial et son passage d'un rang au suivant donnent une construction effective.

Le constructivisme concerne donc à la fois les objets admis et les moyens de les établir. Il contraste avec le platonisme, selon lequel les objets mathématiques existent indépendamment de notre capacité à les construire. Cette opposition ne signifie toutefois pas que toute mathématique non platonicienne soit constructive : une position sur l'existence des objets et le choix d'une logique ne se confondent pas entièrement.

On cherche un entier naturel dont le carré vaut 49. Les données sont l'ensemble des entiers naturels, la propriété « avoir pour carré 49 » et une procédure finie qui teste successivement 0, 1, 2, puis les entiers suivants.

1. Pour chaque entier essayé, on calcule son carré.
2. Les essais de 0 à 6 donnent respectivement 0, 1, 4, 9, 16, 25 et 36 ; aucun ne convient.
3. L'essai suivant donne 7² = 49.
4. La procédure s'arrête et renvoie 7.

L'existence demandée est ainsi accompagnée du témoin 7. Le contrôle est refaisable en une opération : 7 × 7 = 49. La suite des essais illustre aussi un algorithme de construction ; elle ne se contente pas de conclure qu'une absence de solution serait contradictoire.

Dans une preuve d'existence, on cherche d'abord le témoin effectivement fourni. Pour l'énoncé « un entier naturel a pour carré 49 », le nombre 7 et la vérification 7 × 7 = 49 suffisent. Une contradiction sans témoin répondrait à une exigence classique différente.

Devant une alternative, on examine si une procédure décide quel cas est réalisé. Pour un entier donné, le calcul de son reste dans la division par 2 tranche entre pair et impair. Sans procédure de décision, le tiers exclu ne fournit pas à lui seul un choix constructif.

Lorsqu'une démonstration annonce un algorithme, on vérifie que chaque étape est définie et que le résultat promis est effectivement obtenu. Si le but est seulement une affirmation classique d'existence, une preuve non constructive peut convenir ; si l'on veut calculer l'objet, il faut une construction.

Constructivisme mathématique et constructivisme de Piaget. Le premier impose des critères de construction aux objets et aux preuves mathématiques. Le second concerne la formation des connaissances chez le sujet. Une recherche sur l'apprentissage de l'enfant relève de Piaget, pas de la présente notion.

Constructivisme et intuitionnisme. L'intuitionnisme est une orientation constructive précise, liée à une logique qui n'accepte pas le tiers exclu en général. « Constructif » est un terme plus large : une méthode peut produire explicitement un objet sans engager toutes les thèses intuitionnistes.

Constructivisme et platonisme. Le constructivisme demande comment un objet est construit ; le platonisme soutient que les objets mathématiques existent indépendamment de telles constructions. Une preuve qui pose une existence sans fournir de témoin rend cette différence visible.

Le tiers exclu n'est pas inutilisable dans tous les cas. Pour une propriété effectivement décidable, une procédure peut déterminer la proposition ou sa négation. Le piège consiste à étendre automatiquement cette alternative à toute proposition sans disposer d'une telle décision.

Toute preuve par contradiction n'est pas rejetée. Déduire une contradiction d'une proposition établit constructivement sa négation. Le saut problématique apparaît lorsqu'on déduit une proposition positive de la seule contradiction produite par sa négation, notamment quand aucun témoin d'existence n'en sort.

La récurrence n'est pas interdite en elle-même. Un cas initial construit et une étape qui transforme effectivement un témoin de rang donné en témoin du rang suivant forment une preuve constructive. Une invocation non effective de la récurrence ne suffit pas lorsqu'une procédure de construction est exigée.

Intuitionnisme — Situer une école constructive précise et son rapport à la logique.

Principe du tiers exclu — Examiner le principe classique dont l'emploi général est en jeu.

Raisonnement par l'absurde — Distinguer contradiction, négation et preuve positive d'existence.

algorithme — Approfondir la notion de procédure qui produit un résultat étape par étape.