Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde est une méthode de démonstration qui consiste à supposer la négation de la conclusion que l'on veut établir, puis à en déduire une contradiction, ce qui prouve que la conclusion est nécessairement vraie. Ce mode de raisonnement repose sur le principe du tiers exclu. Il a été utilisé par les Grecs anciens, notamment pour démontrer l'irrationalité de la racine carrée de deux. En logique classique, le raisonnement par l'absurde est aussi appelé la réduction à l'absurde ou preuve indirecte.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre moments d’une preuve par l’absurde, de la négation à la contradiction.
- Refaire la démonstration de l’irrationalité de √2 à partir d’une fraction réduite.
- Distinguer preuve indirecte, preuve directe, contraposée et contre-exemple.
- Repérer une négation imprécise, une contradiction implicite ou une déduction non justifiée.
- Situer le rôle du tiers exclu dans le cadre de la logique classique.
En clair
Imaginez que √2 puisse s’écrire comme une fraction réduite. En suivant cette hypothèse, le calcul force pourtant le numérateur et le dénominateur à être tous deux pairs. La fraction aurait alors un facteur commun : elle ne serait donc pas réduite.
L’hypothèse de départ conduit ainsi à une impossibilité. Le raisonnement par l’absurde consiste à provoquer ce face-à-face logique : on suppose faux ce que l’on veut établir, puis on montre que cette supposition ne peut pas tenir.
Définition
On veut démontrer une proposition, notée P. Une preuve par l’absurde commence par supposer sa négation, notée ¬P. À partir de cette hypothèse et de résultats déjà établis, on déduit deux affirmations incompatibles, par exemple une proposition Q et sa négation ¬Q. La structure logique est donc .
Dans le raisonnement présenté, la contradiction sert à établir que l’hypothèse ¬P est impossible dans le cadre des hypothèses admises, et non à justifier une conclusion arbitraire. En logique classique, le principe d’explosion permet certes de déduire formellement toute proposition d’une contradiction ; ici, le principe du tiers exclu permet de retenir P. Cette démarche est également appelée réduction à l’absurde ou preuve indirecte.
La méthode s’applique lorsqu’une conclusion possède une négation précise et que cette négation permet d’engager une chaîne de déductions contrôlable. Pour √2, nier l’irrationalité revient à supposer l’existence d’une écriture fractionnaire réduite ; c’est cette propriété concrète qui rend la contradiction accessible.
Un exemple, pas à pas
Données. On veut établir que √2 est irrationnel. On suppose au contraire que , où a et b sont des entiers sans facteur commun et b est non nul.
1. En élevant l’égalité au carré, on obtient . Le carré de a est pair. Or le carré d’un entier impair est impair ; a est donc pair. Il existe alors un entier k tel que a = 2k.
2. En remplaçant a par 2k, l’égalité devient , puis . Le même raisonnement montre que b est pair.
3. Les entiers a et b sont donc tous deux divisibles par 2. Cela contredit la donnée selon laquelle ils n’ont aucun facteur commun. L’hypothèse d’une écriture fractionnaire réduite est impossible.
Conclusion. √2 n’est pas rationnel : il est irrationnel. Le schéma de la preuve permet de suivre le passage de l’hypothèse à la contradiction sans perdre le rôle de la fraction réduite.
Contrôle. La contradiction porte bien sur l’hypothèse initiale : une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont pairs peut être simplifiée par 2 et ne peut donc pas être réduite.
En pratique
Pour montrer qu’un nombre comme √2 est irrationnel, la preuve par l’absurde transforme l’affirmation contraire en une fraction réduite, puis cherche une propriété incompatible avec cette réduction. Une preuve directe serait préférable si une construction explicite de la conclusion était disponible.
Devant une affirmation d’impossibilité, on suppose qu’un objet possédant les propriétés interdites existe, puis on exploite chacune de ces propriétés jusqu’au conflit. Si la négation reste vague ou inutilisable, il faut d’abord la reformuler précisément ou choisir une autre méthode.
Pour relire une preuve indirecte, on repère quatre éléments : la conclusion visée, sa négation exacte, les déductions autorisées et la contradiction finale. Si le conflit dépend d’une hypothèse non établie, la preuve ne se referme pas.
À ne pas confondre
Avec une preuve directe. Une preuve directe part des hypothèses admises pour atteindre la conclusion. La preuve par l’absurde ajoute d’abord la négation de cette conclusion. Pour √2, supposer une fraction réduite signale immédiatement la démarche indirecte.
Avec la contraposée. Pour établir « si A, alors B », la contraposée démontre directement « si non-B, alors non-A ». Une preuve par l’absurde suppose au contraire A et non-B ensemble, puis en tire une contradiction. Le critère qui tranche est donc la forme de l’objectif intermédiaire.
Avec un contre-exemple. Un contre-exemple réfute une affirmation générale en exhibant un cas qui la rend fausse. Le raisonnement par l’absurde cherche une contradiction pour établir une conclusion. Trouver un nombre rationnel dont le carré vaut 2 serait un contre-exemple à l’irrationalité, pas une preuve par l’absurde.
Limites et pièges
Une contradiction doit être explicite. Obtenir un résultat surprenant ou contraire à l’intuition ne suffit pas. Dans l’exemple, le conflit précis est « a/b est réduite » et « a et b ont le facteur commun 2 ». Il faut toujours nommer les deux affirmations incompatibles.
La négation doit être exacte. Pour prouver que √2 est irrationnel, on nie la conclusion en supposant que √2 est rationnel, donc égal à a/b avec b non nul. Oublier la condition b ≠ 0 ou la réduction de la fraction bloque la chaîne de déductions.
Le cadre logique compte. La conclusion finale utilise ici la logique classique et le principe du tiers exclu mentionné dans la définition. Dans un cadre qui n’admet pas ce passage, une contradiction issue de ¬P établit d’abord ¬¬P ; il faut justifier séparément le retour à P.
Une étape fausse ne devient pas vraie par contradiction. Dans la preuve de √2, le passage de « a2 est pair » à « a est pair » doit être établi. Si une déduction intermédiaire est seulement supposée, le conflit final ne valide pas la démonstration.
Pour aller plus loin
Principe du tiers exclu — Précise le cadre logique qui autorise le passage de l’impossibilité de ¬P à l’affirmation de P.
Les premiers irrationnels — Replace l’exemple de √2 dans l’étude des nombres qui ne s’écrivent pas comme une fraction.
fonction racine carrée — Prolonge l’exemple conducteur en étudiant la fonction dont √2 est une valeur particulière.
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