Les Babyloniens déjà, entre 1800 et 1600 avant notre ère, savaient calculer la longueur de la diagonale du carré connaissant son côté ; les mathématiciens indiens du VIe siècle avant notre ère aussi. Le vrai problème de la nature de ce rapport entre diagonale et côté, c’est-à-dire pour nous 2,\sqrt{2}, s’est posé aux géomètres grecs : est-ce un rationnel, c’est-à-dire un quotient de deux entiers ?
√2, le rebelle ! ----------------
Ce sont vraisemblablement les pythagoriciens, pour qui « tout est nombre », qui ont prouvé que le nombre en question était réfractaire à toute mise sous forme de fraction : ce nombre est bien irrationnel.
On doit la révélation de cette découverte, 530 avant notre ère, au disciple de Pythagore Hippase de Métaponte qui « le premier fit sortir du mystère la considération de l’irrationnel », d’après le philosophe Proclus (412‒485).
Si on a pu, comme Aristote, démontrer par l’absurde que 2\sqrt{2} n’est pas rationnel, les pythagoriciens ont, eux, privilégié pour ce faire les arguments géométriques, retranchant par exemple le côté du carré à sa diagonale. En effet, si la diagonale d’un carré de côté 29 était égale à 41, autrement dit si 2\sqrt{2} était égal à 4129≃1,413793…,\dfrac{41}{29} \simeq 1,413793 \dots, alors, les triangles colorés ayant même forme, on aurait aussi 2=1712≃1,416666…\sqrt{2} = \dfrac{17}{12} \simeq 1,416666 \dots Quelle contradiction !