valeur de vérité

Prenons deux phrases : « 7 est premier » et « 7 est pair ». La première est vraie, la seconde est fausse. En logique classique, on attache donc à chacune une étiquette, V ou F, également notée 1 ou 0. Cette étiquette est sa valeur de vérité.

Ces étiquettes permettent ensuite de déterminer la vérité d'une phrase composée avec « et », « ou » ou « non ». D'autres logiques changent le jeu d'étiquettes ou la manière de justifier qu'une phrase est vraie.

Une valeur de vérité est une valeur sémantique attribuée à une proposition, c'est-à-dire à un énoncé susceptible d'être évalué. En logique propositionnelle classique, l'évaluation est bivalente : toute proposition reçoit exactement l'une des valeurs Vrai ou Faux, souvent codées respectivement par 1 et 0. Ces nombres sont des codes logiques ; ils ne mesurent pas une probabilité.

Une valuation associe une valeur à chaque proposition élémentaire. Les connecteurs imposent ensuite la valeur des propositions composées. Par exemple, la conjonction de deux propositions, notée $P\wedge QP\; \backslash land\; Q$, est vraie exactement lorsque la proposition P et la proposition Q sont toutes deux vraies.

Le cadre choisi est décisif. En logique floue, une valeur située dans l'intervalle [0, 1] peut représenter un degré de vérité. En logique intuitionniste, le principe du tiers exclu n'est pas admis en général : affirmer une proposition demande une justification constructive. Ce refus n'ajoute pas simplement une troisième valeur entre Vrai et Faux.

On considère la proposition P : « 7 est premier » et la proposition Q : « 7 est pair ». Les données sont : P reçoit V, donc 1 ; Q reçoit F, donc 0. On évalue trois propositions composées.

1. Pour « P et Q », les deux propositions devraient être vraies. Q étant fausse, $P\wedge QP\; \backslash land\; Q$ reçoit F, donc 0.

2. Pour « P ou Q », il suffit ici qu'au moins l'une soit vraie. P étant vraie, $P\vee QP\; \backslash lor\; Q$ reçoit V, donc 1.

3. Pour « non Q », on inverse la valeur de Q. Comme Q est fausse, $\mathrm{\neg }Q\backslash lnot\; Q$ reçoit V, donc 1.

Le contrôle se refait en lisant les phrases : « 7 est premier et pair » est fausse, « 7 est premier ou pair » est vraie, et « 7 n'est pas pair » est vraie.

Pour analyser un raisonnement, on commence par isoler les propositions élémentaires, puis on leur attribue des valeurs. Les connecteurs permettent alors de contrôler si la conclusion est vraie dans chaque cas où les prémisses le sont.

Une table de vérité est utile lorsque le nombre de propositions élémentaires reste petit : elle énumère toutes les attributions possibles et calcule chaque résultat. Si l'énumération devient trop longue, on préfère un raisonnement symbolique adapté.

Lorsqu'un énoncé décrit une notion graduelle, comme « être proche », imposer seulement Vrai ou Faux peut perdre l'information recherchée. Une logique floue devient pertinente si le modèle doit représenter explicitement des degrés entre 0 et 1.

Valeur de vérité et probabilité. Une valeur classique 0 ou 1 indique que la proposition est fausse ou vraie dans l'évaluation considérée. Une probabilité indique une incertitude : une proposition peut être vraie tout en ayant reçu auparavant une faible probabilité.

Valeur de vérité et table de vérité. La valeur est l'étiquette attribuée à une proposition. La table est l'outil qui rassemble les valeurs obtenues pour toutes les attributions possibles aux propositions élémentaires. Une seule ligne fournit des valeurs ; l'ensemble des lignes forme la table.

Faux et indéterminé. Ne pas connaître la valeur d'une proposition ne prouve pas qu'elle est fausse. « Q est fausse » est un verdict ; « la valeur de Q n'est pas établie » décrit un manque d'information ou de justification.

Le codage 0 et 1 est une convention. Le symptôme du piège est de calculer avec ces codes comme avec des quantités ordinaires sans avoir défini les opérations. Il faut appliquer les règles des connecteurs de la logique choisie.

Un degré flou n'est pas automatiquement une fréquence. La valeur charnière 0,5 peut exprimer un degré intermédiaire dans un modèle flou ; elle ne signifie pas, à elle seule, « une chance sur deux ». Il faut préciser la sémantique du modèle.

Le tiers exclu n'est pas universel. En logique classique, la proposition composée « P ou non P » est toujours vraie. En logique intuitionniste, elle n'est pas admise sans construction générale. Il faut donc annoncer le système logique avant d'utiliser cette règle.

Une phrase ambiguë n'est pas encore une proposition bien évaluée. Si le sens ou le contexte change le verdict, attribuer immédiatement V ou F masque le problème. Il faut d'abord préciser l'énoncé et son interprétation.

La table de vérité montre comment organiser toutes les valuations et suivre l'effet des connecteurs ligne par ligne.

La logique floue approfondit le rôle des valeurs intermédiaires entre 0 et 1 et leur interprétation comme degrés de vérité.

Le Principe du tiers exclu éclaire la formule « P ou non P » et la différence entre cadres classique et intuitionniste.