Logique et ensemblesNotion · Glossaire
contraposée
La contraposée d'une implication est l'implication obtenue en inversant et en niant les deux membres. Formellement, la proposition « A implique B » est logiquement équivalente à sa contraposée « non B implique non A ». Cette équivalence est une tautologie de la logique propositionnelle classique. La contraposée est fréquemment utilisée en mathématiques comme technique de démonstration : pour prouver que A implique B, il suffit de supposer que B est faux et d'en déduire que A est faux. On prendra garde à ne pas confondre la contraposée avec la réciproque (« B implique A ») ni avec la négation (« A n'implique pas B »), qui ne sont pas des équivalents logiques de l'implication initiale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Former la contraposée de A implique B sans confondre l'ordre et la négation.
- Suivre une démonstration sur la divisibilité par 4.
- Distinguer contraposée, réciproque, implication inverse et négation.
En clair
Prenons un entier divisible par 4 : il est forcément pair. Pour regarder la même règle par l'autre bout, on part d'un entier qui n'est pas pair, donc impair. Il ne peut alors pas être divisible par 4.
Ce retournement est la contraposée. On échange le départ et l'arrivée, puis on nie chacun. La règle obtenue dit exactement la même chose que la règle initiale, mais elle peut être plus commode à démontrer.
Définition
Une implication relie deux propositions. On note A la proposition de départ, appelée hypothèse, et B la proposition d'arrivée, appelée conclusion. L'implication initiale s'écrit . Sa contraposée échange les rôles et nie les deux propositions : .
En logique propositionnelle classique, ces deux implications ont toujours la même valeur de vérité. Cette équivalence s'écrit . Elle est donc une tautologie. Pour démontrer que A implique B par contraposée, on suppose que B est fausse, puis on établit que A est fausse.
La transformation porte sur les propositions entières et conserve leur domaine d'application. Elle ne produit ni la réciproque , ni la négation de l'implication, qui est vraie précisément lorsque A est vraie et B est fausse.
Un exemple, pas à pas
On veut établir la règle suivante pour tout entier n : « si n est divisible par 4, alors n est pair ».
Données : A signifie « n est divisible par 4 » ; B signifie « n est pair » ; un entier non pair est impair.
Données : A signifie « n est divisible par 4 » ; B signifie « n est pair » ; un entier non pair est impair.
1. On échange la conclusion B et l'hypothèse A. La nouvelle implication partira donc de la négation de B.
2. On nie les deux propositions. La contraposée devient : « si n est impair, alors n n'est pas divisible par 4 ».
3. Un entier impair s'écrit 2k + 1 pour un entier k. Il ne peut pas s'écrire 4q pour un entier q, car tout nombre de la forme 4q est pair. La contraposée est donc établie.
Le contrôle consiste à revenir à l'implication initiale : la contraposée prouvée garantit que tout entier divisible par 4 est pair. Le schéma associe chaque proposition à sa négation et montre le sens des deux implications équivalentes.
En pratique
Dans une démonstration, la voie directe part de l'hypothèse A. Si elle n'offre aucune prise, on essaie la contraposée : on suppose que la conclusion B est fausse et on cherche à rendre A impossible.
Pour contrôler une transformation logique, on vérifie deux gestes distincts : l'ordre est inversé et chaque proposition est niée. Si un seul geste manque, la phrase obtenue n'est pas la contraposée.
Dans l'exemple des entiers, travailler directement avec « divisible par 4 » suffit déjà. La contraposée devient préférable lorsque la propriété « non B » fournit une description plus exploitable que A.
À ne pas confondre
La réciproque. À partir de « A implique B », elle affirme « B implique A » sans nier les propositions. Dans l'exemple, « tout entier pair est divisible par 4 » est faux : 6 est pair, mais n'est pas divisible par 4.
La négation de l'implication. Nier « A implique B » revient à affirmer que A est vraie et B est fausse. Ce n'est pas une nouvelle implication équivalente. Pour nier la réciproque « tout entier pair est divisible par 4 », il suffit donc d'exhiber un entier pair qui n'est pas divisible par 4, par exemple 6.
L'implication inverse. La formule nie les deux membres sans les échanger. Elle est la contraposée de la réciproque, pas celle de l'implication initiale. Dans l'exemple, 6 n'est pas divisible par 4 tout en étant pair.
Limites et pièges
Cadre logique. L'équivalence complète entre une implication et sa contraposée est ici celle de la logique classique. Dans un autre cadre logique, il faut vérifier les règles admises au lieu de reprendre automatiquement cette équivalence.
Domaine oublié. La phrase sur la divisibilité concerne les entiers. Si le domaine de n disparaît, les mots « pair » et « divisible par 4 » ne sont plus définis comme prévu. Il faut conserver le même domaine dans l'implication et sa contraposée.
Vérité par absence de contre-exemple. Une implication n'est fausse que lorsque A est vraie et B est fausse. Si A est toujours fausse dans le domaine choisi, l'implication reste vraie sans fournir d'exemple de B. Il faut donc distinguer la validité logique d'une relation causale ou d'une existence.
Pour aller plus loin
Tautologie — Pour voir pourquoi une équivalence reste vraie quelles que soient les valeurs de vérité de ses propositions.
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