logique floue

Un thermostat mesure 24 °C. La pièce n'est pas seulement « modérée » ou « chaude » : elle peut appartenir aux deux descriptions, avec des degrés différents. Par exemple, un réglage choisi peut lui attribuer 0,6 pour « modérée » et 0,4 pour « élevée ».

La logique floue transforme ainsi une frontière brutale en transition graduelle. Les nombres entre 0 et 1 ne mesurent pas ici une chance que la température existe : ils expriment à quel degré le mot choisi convient à la valeur observée.

La logique floue étend la logique bivalente, dans laquelle une proposition vaut vrai, soit 1, ou faux, soit 0. Elle a été introduite en 1965 à l'université de Berkeley par Lotfi Zadeh, mathématicien et ingénieur azerbaïdjanais-américain. Elle représente des assertions graduelles comme « la vitesse est élevée », « la température est modérée » ou « le délai est court » par des valeurs réelles comprises entre 0 et 1.

Soit un univers de valeurs possibles et une valeur de cet univers notée x. Un ensemble flou A est défini par sa fonction d'appartenance, notée μ_A, qui associe à x un nombre de l'intervalle [0, 1] : ${\mu }_A(x)\in [0,1]\backslash mu\_A(x)\backslash in[0,1]$. Le degré 0 signifie que x n'appartient pas à A, et le degré 1 qu'il y appartient pleinement. Les valeurs intermédiaires codent une appartenance partielle. Un ensemble ordinaire est le cas particulier où la fonction ne prend que 0 ou 1.

La forme de la fonction d'appartenance dépend du sens donné au terme dans le système étudié ; elle n'est pas imposée par le mot seul. Des règles peuvent ensuite combiner plusieurs degrés pour commander un dispositif ou assister une décision. Longtemps contesté par une partie de la communauté mathématique, ce cadre a trouvé des applications dans le traitement du signal, la robotique, les systèmes experts et le contrôle automatique lorsque des catégories utiles ont des frontières graduelles.

Un thermostat doit régler un ventilateur à partir d'une mesure de 24 °C. Pour cet exemple, les données sont :
— une plage de 20 °C à 30 °C ;
— « modérée » décroît linéairement de 1 à 0 sur cette plage ;
— « élevée » croît linéairement de 0 à 1 ;
— les commandes associées valent 30 % et 80 % de puissance.

1. La température dépasse le début de la plage de 24 − 20 = 4 °C, sur une largeur de 30 − 20 = 10 °C.

2. Les degrés d'appartenance sont donc exacts : « modérée » vaut 1 − 4/10 = 0,6, tandis que « élevée » vaut 4/10 = 0,4. Sur les fonctions choisies, la verticale de 24 °C rencontre ainsi les deux droites à ces hauteurs.

3. On pondère chaque commande par son degré, puis on divise par la somme des degrés : $\frac{\mathrm{0,6}\times 30+\mathrm{0,4}\times 80}{\mathrm{0,6}+\mathrm{0,4}}=50\backslash frac\{0\{,\}6\backslash times30+0\{,\}4\backslash times80\}\{0\{,\}6+0\{,\}4\}=50$.

Le ventilateur reçoit donc une commande de 50 % de puissance. Le contrôle se refait directement : 0,6 × 30 = 18, 0,4 × 80 = 32, et 18 + 32 = 50. Cette moyenne pondérée est la convention retenue pour l'exemple, pas une règle unique de tous les systèmes flous.

Dans un contrôle automatique, un seuil classique ferait basculer le ventilateur d'un régime à l'autre dès qu'une température précise est franchie. Un réglage flou est préférable lorsque l'on veut une transition progressive entre deux commandes.

En traitement du signal, on peut attribuer plusieurs degrés à des catégories dont les frontières sont imprécises. Un classement net reste préférable lorsque la norme impose un seuil vérifiable et sans zone de transition.

En robotique ou dans un système expert, des règles formulées avec « proche », « rapide » ou « élevé » peuvent agir ensemble. Le concepteur vérifie alors les fonctions d'appartenance et la réponse obtenue sur les valeurs charnières, au lieu de se fier aux mots seuls.

Probabilité. Une probabilité mesure l'incertitude attachée à un événement. Un degré d'appartenance mesure l'adéquation d'une valeur observée à une catégorie graduelle. Dans l'exemple, 0,4 pour « élevée » ne signifie pas qu'il existe 40 % de chances que le thermomètre indique 24 °C.

Logique multivalente. Une logique multivalente admet plus de deux valeurs de vérité, parfois en nombre fini. La logique floue utilise des degrés dans [0, 1] et les relie notamment à des fonctions d'appartenance. Trois valeurs fixes « faux, indéterminé, vrai » suffisent donc à reconnaître une logique multivalente, mais pas à établir un modèle flou gradué.

Logique classique. Elle tranche entre 0 et 1. La logique floue ne l'abolit pas : lorsque toutes les fonctions d'appartenance ne prennent que ces deux valeurs, on retrouve un classement net. À 24 °C, l'obtention de 0,6 et 0,4 montre précisément que l'exemple n'est pas bivalent.

Un degré intermédiaire n'est pas de l'ignorance. La valeur 0,5 peut signifier qu'un élément est à mi-appartenance selon une fonction donnée, même si la mesure est parfaitement connue. Si la température elle-même est incertaine, il faut modéliser séparément cette incertitude.

Les mots ne fixent pas les courbes. Deux systèmes peuvent donner des degrés différents à 24 °C parce qu'ils n'emploient ni la même plage ni la même fonction d'appartenance. Il faut annoncer ou calibrer ces fonctions avant de comparer les résultats.

Les opérations ne sont pas universelles. Minimum, produit, maximum ou moyenne pondérée correspondent à des choix de combinaison différents. Si remplacer une convention change fortement la commande, il faut justifier ce choix et tester le système aux points charnières, notamment ici à 20 °C, 25 °C et 30 °C.

Une sortie précise ne garantit pas un bon modèle. Le calcul donne exactement 50 % avec les données retenues, mais ce nombre dépend des courbes et commandes choisies. Le bon réflexe consiste à confronter la réponse du système à son usage réel, surtout près des extrémités de la plage.

Un système de contrôle flou complet enchaîne plusieurs choix : transformer les mesures en degrés d'appartenance, activer des règles, combiner leurs conclusions, puis produire une commande exploitable. L'exemple du thermostat illustre une moyenne pondérée ; d'autres conventions peuvent conduire à une sortie différente.

L'étude peut alors porter sur la forme des fonctions d'appartenance, sur les opérateurs qui traduisent « et » ou « ou », et sur la sensibilité de la sortie à ces choix. Cette analyse relie la nuance du langage à un mécanisme mathématique testable.