Filtre

Prenons les entiers naturels et décidons qu’un ensemble est « assez grand » lorsqu’il ne lui manque qu’un nombre fini d’entiers. Retirer 1 et 2 convient ; retirer 2 et 3 aussi. Leur intersection convient encore, car il ne manque alors que 1, 2 et 3.

Un filtre formalise cette idée d’ensembles assez grands. Deux choix acceptés peuvent être croisés, et tout ensemble qui contient un choix accepté l’est également. En revanche, l’ensemble vide n’est jamais accepté.

Soit un ensemble E. Un filtre sur E est une famille ℱ de parties de E. L’ensemble vide est noté ∅ ; les lettres A et B désignent des membres de ℱ, et C une partie de E. Les quatre conditions se résument ainsi :

La première condition impose une famille non vide ; la deuxième exclut ∅. La troisième exprime la stabilité par intersection de deux membres, donc par toute intersection finie. La quatrième exprime la stabilité par passage à un sur-ensemble. Sur les entiers naturels, les parties dont le complément est fini forment le filtre de Fréchet, aussi appelé filtre co-fini. En topologie, un filtre ℱ converge vers un point x lorsque chaque voisinage de x appartient à ℱ. Cette formulation étend la convergence au-delà des espaces métrisables. Un ultrafiltre est un filtre maximal pour l’inclusion parmi les filtres qui excluent ∅.

On travaille dans l’ensemble ℕ des entiers naturels. Le filtre co-fini rassemble les parties de ℕ auxquelles il ne manque qu’un nombre fini d’éléments. Prenons A = ℕ privé de 1 et 2, B = ℕ privé de 2 et 3, puis C = ℕ privé de 1.

1. Les compléments de A et de B contiennent chacun deux éléments. A et B appartiennent donc au filtre co-fini.
2. L’intersection de A et B est ℕ privé de 1, 2 et 3. Son complément a trois éléments : l’intersection appartient encore au filtre.
3. A est inclus dans C, car C réintroduit 2 sans retirer aucun élément de A. La stabilité par sur-ensemble impose donc l’appartenance de C au filtre.
4. L’ensemble vide échoue au contrôle : son complément, ℕ, est infini.

Le contrôle est refaisable en comptant les entiers absents : 2 pour A, 2 pour B, 3 pour leur intersection et 1 pour C. Ces quatre nombres sont finis, tandis que le complément de ∅ ne l’est pas.

Pour étudier une convergence dans un espace métrique familier, une suite suffit souvent. Lorsqu’aucune base dénombrable de voisinages n’est disponible, un filtre garde directement la trace de tous les voisinages pertinents.

En topologie, on teste la convergence vers un point en vérifiant que chacun de ses voisinages appartient au filtre. Pour un point x, on prend donc un voisinage quelconque de x et l’on contrôle son appartenance au filtre, puis on répète ce contrôle pour tous les autres voisinages de x : s’ils appartiennent tous au filtre, celui-ci converge vers x ; dès qu’un voisinage manque, ce test échoue. Une suite généralisée offre une autre approche ; le filtre est préférable lorsque l’on veut manipuler les familles d’ensembles elles-mêmes.

Dans un espace uniforme, les filtres de Cauchy servent à construire et à caractériser la complétion. Les suites de Cauchy restent adaptées aux espaces métriques, mais les filtres couvrent le cadre uniforme sans supposer une métrique.

Les ultrafiltres interviennent dans la compactification de Stone-Čech. On les choisit lorsqu’une maximalité est nécessaire ; pour une simple notion de convergence ou de voisinage, un filtre ordinaire suffit.

Filtre et base de filtre. Une base de filtre propre est une famille non vide de parties non vides telle que, pour deux de ses membres, leur intersection contient un membre de la base ; elle engendre alors un filtre sans avoir besoin de contenir tous les sur-ensembles de ses membres. Si la famille est déjà stable par passage aux sur-ensembles et satisfait les autres axiomes, il s’agit du filtre lui-même.

Filtre et topologie. Un filtre est stable par intersections finies et par agrandissement de ses membres. Une topologie est stable par unions quelconques et intersections finies, mais n’est pas en général stable par agrandissement de chaque ouvert. Dans ℝ muni de sa topologie usuelle, [0, 1] contient l’ouvert (0, 1) sans être ouvert : cet exemple tranche la distinction.

Filtre et idéal d’ensembles. Le filtre monte vers les sur-ensembles et croise ses membres par intersection. Un idéal descend vers les sous-ensembles et réunit ses membres par union finie. Dans ℕ, les parties co-finies forment un filtre, tandis que les parties finies forment l’idéal dual.

L’ensemble vide fait tout basculer. Si ∅ appartenait à la famille, la règle des sur-ensembles y ferait entrer toutes les parties de E. La définition retenue ici exclut cette famille impropre : il faut vérifier ∅ explicitement.

Le filtre co-fini exige un ensemble infini. Sur un ensemble E fini, même ∅ a un complément fini ; la famille de toutes les parties co-finies contient alors ∅ et n’est pas un filtre au sens retenu. Sur ℕ, ce piège disparaît.

Une limite n’est pas toujours unique. Un même filtre peut converger vers plusieurs points dans un espace topologique qui ne sépare pas suffisamment ses points. L’unicité est garantie dans un espace séparé, dit de Hausdorff ; sans cette hypothèse, il faut conserver toutes les limites.

Maximal ne signifie pas unique. Un ultrafiltre est maximal parmi les filtres propres pour l’inclusion, mais plusieurs ultrafiltres peuvent exister sur le même ensemble. Pour tout sous-ensemble A de E, un ultrafiltre contient A ou son complément, jamais les deux.

Ultrafiltre — Approfondir la maximalité et le choix entre une partie d’un ensemble et son complément.

Voisinage — Relier l’appartenance de tous les voisinages d’un point à la convergence d’un filtre.

Suite généralisée — Comparer deux outils qui décrivent la convergence au-delà des suites ordinaires.

Intersection — Revoir l’opération qui traduit la combinaison de deux contraintes au sein d’un filtre.