AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Suite généralisée
Une suite généralisée (ou réseau) est une application d’un ensemble préordonné dirigé vers un espace topologique : pour deux indices, il en existe toujours un qui leur est postérieur. Elle étend l’idée de suite à des étapes qui peuvent progresser dans plusieurs directions et permet de décrire la convergence et les propriétés topologiques lorsque les suites ordinaires ne suffisent pas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre données qui constituent un réseau.
- Appliquer le critère de convergence par voisinages.
- Voir sur un exemple pourquoi une suite ordinaire peut être insuffisante.
- Relier réseaux, fermeture, continuité et compacité.
En clair
Imaginez que chaque étape consiste à fixer quelques coordonnées, sans pouvoir les numéroter toutes par 0, 1, 2, 3… Une suite généralisée remplace cette file unique par un ensemble d'étapes où deux états peuvent toujours être dépassés par un état plus avancé.
À chaque étape correspond un point de l'espace étudié. Le réseau converge lorsque, dès que l'on choisit une zone autour de la cible, tous les points suffisamment avancés restent dans cette zone. Une suite ordinaire est simplement le cas où les étapes sont les entiers naturels.
Définition
Une suite généralisée, aussi appelée réseau ou net, est une application d'un ensemble dirigé vers un espace topologique. Un ensemble dirigé est un ensemble D muni d'un préordre : pour deux indices d et e, il existe un indice f situé après les deux. L'ordre n'a donc pas besoin d'être total, et deux indices distincts peuvent être équivalents pour le préordre.
Si X désigne l'espace topologique, le réseau associe à chaque indice d un point xd de X. Il converge vers un point ℓ lorsque toute zone ouverte contenant ℓ finit par contenir tous ses termes : . Ici, 𝒩(ℓ) désigne l'ensemble des voisinages de ℓ.
Lorsque D est l'ensemble ℕ des entiers naturels avec son ordre usuel, on retrouve une suite ordinaire. L'indexation dirigée devient indispensable dans certains espaces non métriques : elle caractérise la fermeture et la continuité, et un espace est compact exactement lorsque chacun de ses réseaux possède un sous-réseau convergent.
De quoi c'est fait
Un réseau réunit quatre données. L'ensemble D fournit les indices. Son préordre précise ce que « plus avancé » signifie et doit rendre D dirigé. L'espace topologique X fournit les points et leurs voisinages. Enfin, l'application associe à chaque indice d un terme xd dans X.
Le préordre commande donc l'ordre des termes, tandis que la topologie de X commande leur convergence. Modifier seulement la façon de dessiner les indices ne change rien ; modifier le préordre peut changer les termes considérés comme ultérieurs. Avec ces données et un candidat ℓ, le critère des voisinages suffit à décider si le réseau converge vers ℓ.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble X de toutes les fonctions de ℝ vers {0, 1}, muni de la topologie de la convergence coordonnée par coordonnée. Les indices sont les parties finies F de ℝ, ordonnées par inclusion. Pour chaque F, le terme xF vaut 1 sur F et 0 ailleurs. La cible ℓ est la fonction constamment égale à 1.
1. Deux parties finies F et G sont dépassées par leur réunion F ∪ G, elle-même finie. L'ensemble des indices est donc dirigé.
2. Fixons un réel t. Dès que l'indice contient t, tous les indices ultérieurs le contiennent aussi, donc xF(t) = 1.
3. Tout voisinage de ℓ contient un voisinage de base qui ne contraint qu'un nombre fini de coordonnées. Prenons cet ensemble fini comme indice de départ : tous les termes ultérieurs appartiennent au voisinage de base, donc au voisinage donné. Le réseau converge vers ℓ.
4. Une suite de parties finies n'en couvre qu'un ensemble dénombrable. Un réel t reste absent de toutes ces parties ; pour chacune d'elles, la valeur xF(t) est donc 0. La suite ne converge pas vers ℓ.
Pour contrôler toute liste finie de coordonnées, leur réunion donne un indice après lequel chacune vaut 1. La figure montre ce mécanisme sur trois coordonnées sans réduire le réseau à cette chaîne.
En pratique
Pour tester si un point appartient à la fermeture d'un ensemble, on cherche un réseau de points de cet ensemble qui converge vers lui. Dans un espace métrique, une suite suffit ; dans un espace topologique général, le réseau évite de perdre des points de fermeture.
Pour contrôler une application, on suit l'image de chaque réseau convergent. La continuité équivaut à la conservation de sa limite. Les suites ordinaires offrent le test le plus simple dans les espaces métriques, mais ce test peut devenir incomplet hors de ce cadre.
Pour établir la compacité, on peut partir d'un réseau arbitraire et en extraire un sous-réseau convergent. Le critère par recouvrements ouverts reste souvent préférable lorsque la géométrie des ouverts est directement accessible.
À ne pas confondre
Suite ordinaire. Ses indices sont les entiers naturels rangés en une seule chaîne. Toute suite ordinaire est un réseau ; le réseau de l'exemple, indexé par toutes les parties finies de ℝ, ne peut pas être remplacé par une suite de ces mêmes termes.
Filtre. Un filtre est une famille de parties stable par certaines opérations, tandis qu'un réseau est une famille de points indexée par un ensemble dirigé. Les deux décrivent la convergence, mais leurs objets de départ sont différents.
Sous-réseau. Il ne s'agit pas d'une sélection arbitraire de termes. Sa réindexation doit avancer de façon cofinale dans le réseau initial ; une sélection qui reste confinée avant un indice donné ne convient pas.
Limites et pièges
Préordre non total. Deux indices peuvent être incomparables. Le bon contrôle consiste à chercher un troisième indice qui les dépasse tous les deux, et non à tenter de les ranger artificiellement dans une file.
Limite non nécessairement unique. Dans un espace topologique non séparé, un même réseau peut converger vers plusieurs points. L'unicité devient garantie lorsque l'espace est séparé ; elle ne fait pas partie de la définition d'un réseau convergent.
Test séquentiel insuffisant. L'absence de suite convergeant vers un point ne prouve pas toujours que ce point échappe à une fermeture. Dans l'exemple, aucune suite des termes xF n'atteint la cible, alors que le réseau xF entier converge vers elle.
Extraction trop faible. Pour appliquer le critère de compacité, il faut un véritable sous-réseau cofinal, pas seulement une infinité de termes choisis. Il faut vérifier la définition de sous-réseau adoptée avant d'invoquer le théorème.
Pour aller plus loin
Le Filtre présente l'autre grand langage de la convergence topologique et éclaire son lien avec les réseaux.
La fiche compacité - topologie - développe la propriété que les sous-réseaux convergents permettent de caractériser.
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