Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
Tychonov (théorème de)
Le théorème de Tychonov est un résultat fondamental de la topologie générale affirmant que le produit d'une collection quelconque d'espaces topologiques compacts, muni de la topologie produit, est compact. Ce théorème, équivalent à l'axiome du choix en toute généralité, est l'un des résultats de compacité les plus puissants et les plus utilisés en mathématiques. Il englobe en particulier les produits finis d'espaces compacts.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le théorème pour une famille arbitraire d’espaces compacts.
- Reconnaître les ouverts de base de la topologie produit.
- Suivre l’exemple des suites binaires et de fermés emboîtés.
- Distinguer topologie produit, topologie boîte et compacité séquentielle.
- Situer l’équivalence entre la version générale et l’axiome du choix.
En clair
Imaginez un tableau comportant une infinité de colonnes. Dans chaque colonne, on choisit une valeur parmi celles d’un petit espace compact. Un point du produit est alors une ligne complète de choix, une valeur par colonne.
La topologie produit observe seulement un nombre fini de colonnes à la fois. Le théorème de Tychonov assure que, même avec une infinité de colonnes, toutes ces lignes forment encore un espace compact : aucun recouvrement par des ouverts ne nécessite forcément une infinité de pièces.
Définition
Soit I un ensemble d’indices. Pour chaque indice i de I, on considère un espace topologique compact Xi. Leur produit X rassemble toutes les familles x = (xi)i∈I telles que chaque coordonnée xi appartienne à Xi. La topologie produit est la topologie la moins fine qui rende continues toutes les projections vers les facteurs. Un ouvert de base ne restreint qu’un nombre fini de coordonnées.
Le théorème affirme :
La compacité signifie ici que tout recouvrement de X par des ouverts possède un sous-recouvrement fini. Aucune métrique ni hypothèse de séparation supplémentaire n’est imposée ; selon une autre convention, la séparation est déjà incluse dans le mot « compact ». L’ensemble I peut être fini, dénombrable ou non dénombrable.
Dans la formulation générale fondée sur le sous-recouvrement fini, cette assertion est équivalente à l’axiome du choix. Pour un produit fini, aucun recours à cette force logique n’est nécessaire. La topologie produit est essentielle : la conclusion devient fausse si on la remplace sans précaution par la topologie boîte.
Le principe
Si chaque espace Xi, pour i dans un ensemble d’indices I, est compact, alors l’ensemble produit de toutes les familles de coordonnées, muni de la topologie produit, est compact. Autrement dit, de tout recouvrement ouvert du produit on peut extraire un nombre fini d’ouverts qui recouvrent encore tout le produit. L’indexation peut être arbitrairement grande.
Quand l'utiliser
Il faut vérifier deux données. Chaque facteur doit être compact pour sa propre topologie, et le produit doit porter la topologie produit, dont les ouverts de base ne contraignent qu’un nombre fini de coordonnées. Aucune métrique commune ni dimension finie n’est requise. La séparation n’est pas une hypothèse supplémentaire ; certains auteurs l’incluent déjà dans leur définition d’un espace compact.
Si un facteur n’est pas compact, le théorème ne s’applique pas et le produit peut ne pas être compact : ℝ multiplié par un espace réduit à un point reste homéomorphe à ℝ. Si l’on autorise au contraire une contrainte ouverte dans chaque coordonnée, on obtient la topologie boîte ; un produit infini d’espaces compacts peut alors perdre sa compacité.
Un exemple, pas à pas
Prenons, pour chaque entier n ≥ 1, l’espace Xn = {0, 1} muni de la topologie discrète. Il est compact car il ne contient que deux points. Le produit X = {0, 1}ℕ est l’ensemble des suites binaires infinies. Le schéma représente les contraintes successives imposées aux premières coordonnées.
1. Pour chaque entier n ≥ 1, notons Cn l’ensemble des suites dont les n premières coordonnées valent 1. Ainsi, C1 impose le préfixe 1, C2 le préfixe 11 et C3 le préfixe 111.
2. Chaque Cn est non vide et fermé. Ces ensembles sont emboîtés : Cn+1 est inclus dans Cn. Toute intersection d’un nombre fini d’entre eux est donc encore non vide.
3. Par Tychonov, X est compact. La propriété des fermés emboîtés donne alors une suite appartenant à tous les Cn. Cette suite est nécessairement (1, 1, 1, …).
4. Le contrôle est direct : pour tout rang n, la suite constante égale à 1 satisfait les n contraintes définissant Cn. L’intersection de tous les Cn contient donc exactement cette suite.
En pratique
Pour établir une existence, on place parfois chaque donnée locale dans un espace compact, puis on considère toutes les données simultanément. Avec un nombre fini de données, le théorème des produits finis suffit. Pour une famille arbitraire de contraintes fermées dont toute sous-famille finie est compatible, Tychonov permet d’obtenir une configuration globale.
Pour étudier une famille de fonctions, on peut les voir comme des points d’un produit de valeurs, une coordonnée par argument. La topologie produit correspond alors à la convergence point par point. Si l’on exige une convergence uniforme, cette topologie n’est plus le bon outil et un critère de compacité adapté doit être recherché.
Dans un produit dénombrable d’espaces métriques compacts, une extraction diagonale peut souvent donner une preuve concrète. Pour un ensemble d’indices arbitraire, les suites ne suffisent plus en général ; les filtres, les ultrafiltres ou les filets traduisent mieux la compacité utilisée par Tychonov.
À ne pas confondre
Topologie produit et topologie boîte. Dans la topologie produit, un ouvert de base ne fixe qu’un nombre fini de coordonnées. Dans la topologie boîte, il peut en fixer une dans chaque facteur. Sur {0, 1}ℕ, la topologie boîte rend chaque singleton ouvert, contrairement à la topologie produit.
Théorème de Tychonov et théorème de Heine-Borel. Tychonov porte sur les produits d’espaces compacts. Heine-Borel caractérise les parties compactes d’un espace euclidien de dimension finie par la fermeture et la bornitude. Un produit abstrait sans notion de distance ne relève pas de ce second critère.
Compacité et compacité séquentielle. Dans les espaces métriques, on peut tester la compacité au moyen de sous-suites convergentes. Dans un espace topologique général, cette équivalence peut échouer. La présence de seules suites ne suffit donc pas à reformuler Tychonov en toute généralité.
Limites et pièges
Une infinité de contraintes ouvertes. Si un voisinage fixe toutes les coordonnées de {0, 1}ℕ, la topologie obtenue est la topologie boîte. Le produit devient alors un espace discret infini, donc non compact. Il faut revenir aux voisinages qui ne fixent qu’un nombre fini de coordonnées.
Un facteur non compact. La conclusion n’est plus garantie. Le symptôme est un recouvrement sans sous-recouvrement fini déjà visible dans ce facteur ; ses cylindres fournissent le même échec dans son produit avec un espace non vide. Il faut compactifier le facteur ou employer un autre argument.
Le rôle du choix. Pour une famille arbitraire, la preuve complète ne se réduit pas à répéter l’argument des produits finis. La formulation générale par sous-recouvrements finis est équivalente à l’axiome du choix. La restriction aux espaces compacts séparés ne donne pas, à elle seule, cette même équivalence. Il faut donc annoncer la convention employée.
Facteurs vides et produit vide. Si un facteur est vide, le produit est vide et reste compact. Si la famille de facteurs est elle-même vide, son produit est par convention un singleton, lui aussi compact. Ces cas ne produisent pas une famille de choix non triviale.
Pour aller plus loin
Topologie produit — Détailler les ouverts de base et le rôle des projections qui définissent précisément le cadre du théorème.
axiome du choix — Situer la force logique mobilisée par la version entièrement générale de Tychonov.
Ultrafiltre — Aborder une caractérisation de la compacité adaptée aux produits indexés par un ensemble arbitraire.
Heine-Borel (théorème de) — Comparer le résultat abstrait avec le critère de compacité propre aux espaces euclidiens de dimension finie.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres