GéométrieNotion · Glossaire
Topologie produit
La topologie produit sur un produit d'espaces topologiques est la topologie la moins fine rendant continues toutes les projections canoniques. Une base d'ouverts est formée par les cylindres, c'est-à-dire les produits d'ouverts dont tous sauf un nombre fini de facteurs sont l'espace entier. Le théorème de Tychonov affirme que le produit de tout cardinal d'espaces compacts est compact pour la topologie produit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la topologie produit à la continuité des projections canoniques.
- Reconnaître un ouvert cylindrique dans un produit infini.
- Distinguer topologie produit, produit cartésien et topologie boîte.
- Situer le théorème de Tychonov et sa conclusion de compacité.
En clair
Imaginez une suite infinie de curseurs, chacun placé entre 0 et 1. Pour décrire un voisinage d'une configuration, la topologie produit autorise à imposer des intervalles à quelques curseurs seulement. Tous les autres restent libres de parcourir leur espace entier.
Un tel voisinage ressemble à un cylindre : il contrôle un nombre fini de coordonnées sans surveiller toute la suite. Cette règle est précisément assez forte pour que la lecture de chaque curseur, appelée projection canonique, soit continue.
Définition
Soit une famille d'espaces topologiques, notés . Leur produit cartésien est l'ensemble des familles de points ayant une coordonnée dans chaque espace. Pour chaque indice i, la projection canonique extrait la coordonnée d'indice i.
La topologie produit est la moins fine des topologies sur X qui rendent toutes ces projections continues. Une base est constituée des produits , où chaque ensemble est ouvert dans et où sauf pour un nombre fini d'indices. Ces ouverts de base sont appelés cylindres. De façon équivalente, ils sont les intersections finies d'images réciproques .
Cette restriction à un nombre fini de coordonnées est décisive lorsque l'ensemble des indices est infini. Le théorème de Tychonov énonce que le produit d'une famille quelconque d'espaces compacts, muni de cette topologie, est compact.
Un exemple, pas à pas
Considérons une suite de curseurs : pour tout entier positif n, le curseur numéro n parcourt l'intervalle [0, 1]. Le produit X rassemble toutes les suites possibles. Nous voulons reconnaître l'ensemble C des suites dont la première coordonnée est entre 0 et 1/2 et dont la troisième est strictement supérieure à 3/4. Les autres coordonnées sont libres.
1. Dans [0, 1], les intervalles et sont ouverts pour la topologie induite par la droite réelle.
2. L'ensemble recherché s'écrit comme l'intersection de deux contraintes de coordonnées : .
3. Seuls deux facteurs diffèrent de [0, 1]. L'ensemble C est donc un cylindre et, par conséquent, un ouvert de base de la topologie produit.
Le contrôle est immédiat : modifier n'importe quelle coordonnée autre que la première ou la troisième ne fait pas sortir une suite de C. En revanche, fixer la première coordonnée à 0 suffit à sortir de cet ouvert.
En pratique
Pour étudier une suite de valeurs coordonnée par coordonnée, on choisit la topologie produit. Un voisinage peut alors surveiller quelques termes et laisser tous les autres libres, comme dans le cylindre de l'exemple.
Pour vérifier qu'une application vers un produit est continue, on examine chacune de ses applications coordonnées. Ce geste est adapté lorsque toutes les projections composées sont accessibles séparément.
Pour conserver la compacité d'une famille arbitraire d'espaces compacts, on munit leur produit de la topologie produit. Si l'on veut au contraire imposer simultanément une contrainte ouverte sur chaque coordonnée d'un produit infini, on étudie la topologie boîte, qui est généralement plus fine.
À ne pas confondre
Produit cartésien. Il fournit l'ensemble des familles de coordonnées, mais ne dit pas encore quels sous-ensembles sont ouverts. Sur le même produit cartésien, choisir la topologie produit ajoute précisément cette information topologique.
Topologie boîte. Dans un produit infini, elle autorise un produit d'ouverts à contraindre toutes les coordonnées. La topologie produit n'en contraint qu'un nombre fini dans chaque ouvert de base. Pour une famille finie de facteurs, ces deux topologies coïncident.
Limites et pièges
Une infinité de contraintes ne forme pas forcément un ouvert. Dans le produit de suites de [0, 1], demander que chaque coordonnée appartienne à (0, 1) produit une boîte. Ce sous-ensemble n'est pas ouvert pour la topologie produit, car aucun cylindre ne peut contrôler toutes les coordonnées.
« La moins fine » ne signifie pas une topologie pauvre. Elle signifie qu'aucun ouvert superflu n'est ajouté au-delà de ceux nécessaires à la continuité des projections. Pour établir qu'un ensemble est ouvert, il faut donc retrouver autour de chacun de ses points un cylindre inclus dans cet ensemble.
La compacité porte sur la topologie choisie. Le théorème de Tychonov garantit la compacité du produit d'espaces compacts avec la topologie produit. Il ne faut pas transférer automatiquement cette conclusion à une topologie plus fine, telle que la topologie boîte.
Pour aller plus loin
Le Produit cartésien précise l'ensemble sous-jacent sur lequel la topologie produit est construite.
La fiche compacité - topologie - développe la propriété que le théorème de Tychonov préserve dans un produit.
Le Tychonov (théorème de) approfondit le résultat qui relie topologie produit et compacité, même pour une famille infinie.
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