Ascoli (théorème d')

Imaginez une collection de courbes tracées sur le même intervalle fermé. Toutes restent dans une même bande horizontale, et aucune ne peut se mettre à varier brutalement là où les autres restent sages. Le théorème d’Ascoli transforme ces deux contrôles visibles en une garantie de convergence.

Même si la collection contient une infinité de courbes, toute suite choisie en son sein possède une sous-suite qui se rapproche d’une courbe continue, avec la même précision en chaque point de l’intervalle.

Le théorème d’Ascoli, aussi appelé théorème d’Arzelà-Ascoli, est un critère de compacité pour des familles de fonctions. Dans sa version réelle, on considère un espace métrique compact K et l’espace C(K, ℝ) des fonctions continues de K vers les nombres réels. La norme uniforme d’une fonction f mesure sa plus grande valeur absolue sur tout K.

Une famille de fonctions est uniformément bornée lorsqu’une même constante majore |f(x)| pour toutes les fonctions et tous les points. Elle est équicontinue lorsqu’une même proximité entre deux points suffit à rendre proches les valeurs de toutes les fonctions. Le théorème affirme que la famille est relativement compacte pour la norme uniforme exactement lorsque ces deux propriétés sont réunies. « Relativement compacte » signifie que sa fermeture est compacte ; de façon équivalente ici, toute suite de la famille admet une sous-suite qui converge uniformément vers une fonction continue.

Soit K un espace métrique compact et soit F une famille de fonctions continues de K vers ℝ. La première condition demande une borne M commune à toutes les valeurs.

La seconde demande que, pour toute précision positive ε, une même distance positive δ convienne à toutes les fonctions.

Si et seulement si ces deux conditions sont satisfaites, la fermeture de F est compacte pour la norme uniforme.

Le domaine K doit être compact, les fonctions doivent être continues sur K, et la convergence considérée est celle de la norme uniforme. Il faut ensuite vérifier deux propriétés indépendantes : une borne valable simultanément pour toutes les fonctions et tous les points, puis une équicontinuité dont le même δ convient à toute la famille.

La famille définie sur [0, 1] par g_n(x) = xⁿ montre ce qui bloque sans équicontinuité. Ses valeurs restent entre 0 et 1, mais les courbes deviennent arbitrairement raides près de 1 : le théorème d’Ascoli ne s’applique donc pas à cette famille. Toute sous-suite a la même limite point par point, qui est discontinue ; aucune ne peut donc converger uniformément. Dans ce cas, il faut renforcer le contrôle des variations ou choisir une forme de convergence plus faible.

Sur l’intervalle compact [0, 1], considérons toutes les fonctions f_a(x) = ax, où le paramètre a parcourt [0, 1]. Les données sont donc 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ a ≤ 1.

1. Borner. Pour tout a et tout x, la valeur absolue de ax ne dépasse pas 1. La famille possède la borne uniforme M = 1.

2. Contrôler les variations. Deux points x et y vérifient la majoration commune suivante.

La même distance δ = ε convient ainsi à toutes les pentes. La famille de droites reste dans le carré unité et partage ce contrôle des écarts.

3. Extraire. Prenons une suite quelconque de paramètres (a_n) dans [0, 1]. Cet intervalle étant compact, une sous-suite (a_nₖ) converge vers un paramètre a de [0, 1].

4. Vérifier la convergence uniforme. La distance uniforme entre les fonctions correspondantes se calcule exactement.

Le théorème conclut donc à la compacité de cette famille. Le contrôle se refait aux extrêmes : f₀ vaut toujours 0, f₁(x) = x, et leur distance uniforme vaut bien 1.

Pour établir l’existence d’une solution d’équation différentielle, on construit souvent une suite de fonctions approchées. Des bornes communes et un contrôle uniforme de leurs variations permettent d’appliquer Ascoli, puis d’extraire une sous-suite uniformément convergente. Si l’approximation définit plutôt une contraction, un argument de point fixe peut donner directement existence et unicité.

Dans une preuve de compacité en analyse, le geste est toujours vérifiable : choisir la norme, obtenir une borne indépendante de la fonction, puis fabriquer un δ qui ne dépend pas de la fonction choisie. Si ce δ varie avec chaque fonction, Ascoli ne s’applique pas ; il faut trouver une estimation uniforme ou viser une convergence moins exigeante.

Compacité et compacité relative. Une famille relativement compacte n’est pas forcément fermée. Dans C([0, 1], ℝ) muni de la norme uniforme, les fonctions f_a(x) = ax avec 0 < a < 1 forment une famille relativement compacte, mais les fonctions correspondant à a = 0 et a = 1 manquent pour qu’elle soit compacte.

Convergence ponctuelle et convergence uniforme. La première autorise que le rang nécessaire dépende du point observé ; la seconde impose un même rang sur tout K. La suite xⁿ converge ponctuellement sur [0, 1], mais pas uniformément, car sa limite ponctuelle est discontinue. Ascoli ne s’applique pas à cette suite, qui ne possède aucune sous-suite uniformément convergente : toute sous-suite a la même limite ponctuelle discontinue.

Domaine non compact. Sur ℝ, les fonctions h_n(x) = exp(−(x − n)²) sont uniformément bornées et équicontinues, mais leurs bosses s’éloignent. Deux termes distincts restent séparés d’au moins 1 − e⁻¹ en norme uniforme. Il faut restreindre l’étude à des compacts ou ajouter un contrôle à l’infini.

Espace d’arrivée trop général. La formulation « bornée et équicontinue » vaut ici pour des fonctions réelles, ou dans un espace de dimension finie. Dans l’espace de Hilbert ℓ², les fonctions constantes prenant les valeurs d’une suite orthonormée sont bornées et équicontinues sans avoir de sous-suite convergente. Il faut demander que les valeurs en chaque point forment une partie relativement compacte.

Continuité séparée insuffisante. Chaque fonction xⁿ est continue sur [0, 1], mais la famille entière n’est pas équicontinue en 1. Le symptôme est une pente qui se concentre près de ce point. Il faut produire un δ commun, pas un δ dépendant de n.

Sous-suite, pas suite entière. La suite qui alterne f₀ et f₁ appartient à la famille compacte de l’exemple, mais elle ne converge pas. Ascoli garantit l’extraction d’une sous-suite convergente ; ici, les termes pairs ou les termes impairs fournissent cette sous-suite.

convergence uniforme — Préciser le mode de convergence obtenu et comprendre pourquoi il préserve la continuité de la limite.

compacité - topologie - — Replacer l’extraction de sous-suites dans le cadre général des espaces compacts.

norme — Relier la norme uniforme à la distance utilisée entre deux fonctions.

fonction continue — Revoir la propriété locale contrôlée simultanément par l’équicontinuité.