Topologie engendrée

Prenons trois points a, b et c. On décide que les groupes {a, b} et {b, c} doivent être ouverts. Une topologie doit alors accepter leur partie commune {b}, leur réunion {a, b, c}, ainsi que l’ensemble vide.

La topologie engendrée est précisément la collection obtenue sans ajouter d’autre ouvert que ceux imposés par ces règles. Elle complète donc une liste de départ juste assez pour en faire une topologie.

Soit E un ensemble et soit ℱ une famille de parties de E. La topologie engendrée par ℱ est l’intersection de toutes les topologies sur E qui contiennent ℱ. Autrement dit, c’est l’unique plus petite topologie, pour l’inclusion, dans laquelle chaque élément de ℱ est un ouvert. En notant cette topologie 𝒯(ℱ), on écrit :

Pour la construire, on forme d’abord toutes les intersections finies d’éléments de ℱ ; l’intersection de zéro élément est, par convention, E. On prend ensuite toutes les réunions, y compris la réunion vide qui vaut ∅, de ces intersections finies. L’ordre des deux opérations est décisif : une seule vague de réunions des générateurs ne suffit pas toujours. La famille ℱ est alors une sous-base. Si ℱ possède déjà la propriété locale d’une base, ses éléments peuvent directement servir à décrire chaque ouvert par réunion.

On travaille dans l’ensemble E = {a, b, c}. Les données sont les deux parties génératrices A = {a, b} et B = {b, c}. Il faut déterminer tous les ouverts forcés par A et B, sans en ajouter inutilement.

1. Les intersections finies donnent E, A, B et A ∩ B = {b}. Les intersections répétées, comme A ∩ A, ne créent rien de nouveau.

2. Les réunions de ces quatre parties donnent notamment A ∪ B = E. Les autres réunions restent égales à E, A, B ou {b}. La réunion vide ajoute ∅.

3. La collection obtenue est donc 𝒯 = {∅, {b}, {a, b}, {b, c}, E}. Elle contient bien A et B, et elle est stable par réunions quelconques et intersections finies.

4. Le contrôle minimal consiste à essayer de retirer {b}. Cela échoue, car l’intersection A ∩ B ne serait plus ouverte. Le schéma de fermeture met en évidence cette partie imposée avant la liste finale des cinq ouverts.

Pour construire une topologie sur un petit ensemble, on part des parties que l’on veut déclarer ouvertes, puis on ferme la famille par intersections finies et réunions. Si la liste obtenue devient difficile à suivre, une base est souvent une description plus économique.

Dans un produit d’espaces topologiques, on impose que les projections vers chaque facteur soient continues. La topologie produit est celle engendrée par les images réciproques d’ouverts par ces projections. Une définition directe de tous les ouverts serait moins maniable.

Pour imposer simultanément plusieurs conditions de continuité, on rassemble les images réciproques qui doivent être ouvertes et on engendre la topologie correspondante. Si la topologie est déjà donnée, on vérifie plutôt la continuité dans cette topologie au lieu d’en construire une nouvelle.

Famille génératrice et base de topologie. Une famille quelconque peut engendrer une topologie sans être une base. Dans l’exemple, A et B sont générateurs, mais le point b appartient à A ∩ B sans qu’un générateur contenu dans cette intersection ne contienne b. Après ajout de {b}, les intersections finies forment une base.

Topologie engendrée et topologie discrète. Engendrer ne signifie pas rendre toutes les parties ouvertes. Avec A = {a, b} et B = {b, c}, les singletons {a} et {c} ne sont pas ouverts ; la topologie obtenue n’est donc pas la topologie discrète sur E.

Famille vide. Si aucun générateur n’est donné sur E, l’intersection finie vide fournit E et la réunion vide fournit ∅. La topologie engendrée est alors {∅, E}, y compris lorsque E lui-même est vide.

Ordre des fermetures. Prendre seulement les réunions des générateurs peut manquer des ouverts obligatoires. Dans l’exemple, {b} doit apparaître parce que A ∩ B = {b}. Il faut former les intersections finies avant de considérer toutes leurs réunions.

Intersections infinies. Une topologie n’est pas tenue d’être stable par intersection infinie. Si une telle intersection n’est pas déjà obtenue comme réunion d’intersections finies, il ne faut pas l’ajouter automatiquement.

Famille déjà topologique. Si ℱ contient ∅ et E et satisfait déjà les deux règles de stabilité, l’engendrement ne change rien : 𝒯(ℱ) = ℱ. Ajouter une étape de fermeture ne crée alors aucun nouvel ouvert.

La fiche Base d'une topologie montre comment remplacer une longue collection d’ouverts par une famille plus compacte dont toutes les réunions redonnent la topologie.

La Topologie produit développe le cas annoncé dans la définition source : les projections imposent les ouverts générateurs sur un produit d’espaces.