Engendrés (idéal)

Prenons les entiers 6 et 10. En additionnant ou en soustrayant leurs multiples, on obtient 16, 4, 2, puis tous les nombres pairs. Ces deux nombres permettent ainsi de fabriquer un ensemble entier bien plus vaste.

Cet ensemble est engendré par 6 et 10. Le même geste existe dans plusieurs cadres : on combine des vecteurs, on compose des éléments d'un groupe ou l'on forme un idéal dans un anneau. Les opérations autorisées changent avec la structure, mais l'idée reste de fermer le jeu sans ajouter d'éléments inutiles.

Soit un sous-ensemble S d'une structure algébrique A. La sous-structure engendrée par S est la plus petite sous-structure de A qui contient S. Elle est aussi l'intersection de toutes les sous-structures de A contenant S. On la construit en appliquant un nombre fini de fois les opérations de la structure, ainsi que les inverses exigés par celle-ci. Le sous-ensemble S engendre A lorsque la sous-structure obtenue est A tout entière.

Dans un espace vectoriel E sur un corps de scalaires K, le sous-espace engendré par S, noté Vect(S), réunit les combinaisons linéaires finies d'éléments de S :

L'entier n est fini ; lorsque n vaut zéro, la somme est le vecteur nul.

Dans un groupe, le sous-groupe engendré par S contient les produits finis d'éléments de S et de leurs inverses ; le produit vide donne l'élément neutre. Dans un anneau, il faut préciser le côté. L'idéal bilatère engendré par S est l'intersection des idéaux bilatères qui contiennent S. Dans un anneau commutatif unitaire R, il s'écrit :

Cette dernière écriture utilise seulement des sommes finies et des coefficients pris dans R.

Dans l'anneau des entiers ℤ, cherchons l'idéal engendré par l'ensemble S formé de 6 et 10. Les données sont :
• l'anneau ambiant ℤ ;
• les générateurs 6 et 10 ;
• des coefficients entiers quelconques.

1. Écrire tous les éléments possibles. L'idéal I recherché est formé des sommes suivantes, où a et b désignent des entiers :

2. Obtenir une première inclusion. Les nombres 6a et 10b sont pairs. Leur somme est donc paire, ce qui donne $I\subseteq 2\mathbb{Z}I\backslash subseteq\; 2\backslash mathbb\{Z\}$.

3. Retrouver le plus petit entier positif. Une combinaison des deux générateurs donne exactement 2 : $2=2\times 6-1\times 102=2\backslash times\; 6-1\backslash times\; 10$. Le nombre 2 appartient donc à I.

4. Conclure. Puisque I est un idéal contenant 2, il contient tout multiple entier de 2. Ainsi, $2\mathbb{Z}\subseteq I2\backslash mathbb\{Z\}\backslash subseteq\; I$. Les deux inclusions donnent $(6,10)=2\mathbb{Z}(6,10)=2\backslash mathbb\{Z\}$.

Le contrôle se refait dans les deux sens : toute combinaison 6a + 10b est paire, et tout pair est un multiple de 2, déjà obtenu dans I. Par exemple, 14 = 4 × 6 − 10.

En algèbre linéaire, on cherche le sous-espace engendré pour savoir quelles directions une famille de vecteurs permet d'atteindre. Si l'objectif est aussi d'obtenir des coordonnées uniques, une base est préférable : il faut alors retirer les vecteurs dépendants.

En théorie des groupes, quelques générateurs remplacent parfois une longue liste d'éléments. On compose ces générateurs et leurs inverses. Une simple fermeture par produits donne d'abord un semi-groupe ; pour obtenir un monoïde, il faut en outre vérifier l'existence d'un élément neutre. L'absence d'inverses observables impose de ne pas conclure à un sous-groupe.

Dans un anneau, l'idéal engendré sert notamment à imposer des relations dans un quotient. Avant le calcul, on précise s'il s'agit d'un idéal à gauche, à droite ou bilatère. Dans un anneau commutatif, cette distinction disparaît.

Famille génératrice et base. Une famille génératrice atteint tout l'espace ; une base doit en plus être linéairement indépendante. Dans le plan réel, trois vecteurs formés de deux vecteurs de base et de leur somme engendrent le plan, mais ne constituent pas une base.

Idéal engendré et sous-anneau engendré. Un idéal absorbe la multiplication par tout élément de l'anneau, tandis qu'un sous-anneau est seulement fermé pour ses propres éléments. Dans ℤ[X], l'idéal engendré par X contient les polynômes de terme constant nul ; le sous-anneau unitaire engendré par X est ℤ[X] tout entier.

Ensemble des générateurs et structure engendrée. Le premier est la donnée de départ ; la seconde contient tous les résultats autorisés. Dans ℤ, l'ensemble formé de 6 et 10 a deux éléments, alors que l'idéal qu'il engendre est l'ensemble infini 2ℤ.

Ensemble vide. La fermeture ne reste pas forcément vide. Avec les conventions usuelles, l'ensemble vide engendre le sous-espace réduit au vecteur nul, le sous-groupe réduit à l'élément neutre et l'idéal nul. Les sommes et produits vides expliquent ce cas charnière.

Anneau non commutatif. Écrire seulement « l'idéal engendré » masque le côté de la multiplication. Un calcul qui n'est stable que sous les multiplications à gauche produit un idéal à gauche, pas nécessairement un idéal bilatère. Il faut annoncer la convention avant toute formule.

Famille infinie. Même si S possède une infinité d'éléments, chaque combinaison linéaire, somme d'idéal ou produit de groupe n'en emploie qu'un nombre fini. Autoriser une somme infinie demanderait une structure topologique et une notion de convergence absentes de la définition algébrique.

Structure ambiante. Les mêmes générateurs peuvent donner des résultats différents selon l'anneau. L'élément 2 engendre l'idéal 2ℤ dans ℤ, mais il engendre tout ℚ dans ℚ, car 2 y possède un inverse. L'anneau ambiant doit donc toujours être indiqué.

Combinaison linéaire — Voir précisément comment les coefficients assemblent des vecteurs et caractérisent un sous-espace engendré.

famille génératrice — Relier l'engendrement d'un espace à la recherche d'une famille plus petite ou d'une base.

espace vectoriel — Reprendre les opérations et les axiomes qui rendent possibles les combinaisons linéaires.