sous-anneau - structure algébrique -

Prenez les nombres entiers à l'intérieur des nombres rationnels. Additionnez ou multipliez deux entiers : le résultat reste entier. Changez le signe d'un entier : son opposé reste encore entier. Le nombre 0 appartient aussi à cet ensemble.

Les entiers forment ainsi un petit monde de calcul qui fonctionne avec les mêmes addition et multiplication que les rationnels. Un tel monde contenu dans un anneau plus grand est un sous-anneau.

Soit A un anneau, avec son addition et sa multiplication, et soit B une partie de A. La partie B est un sous-anneau lorsque les opérations de A, restreintes aux éléments de B, font elles-mêmes de B un anneau. Les lois ne sont donc pas nouvelles : on effectue exactement les mêmes calculs que dans A.

Un critère compact consiste à vérifier que B n'est pas vide et que, pour tous éléments x et y de B, leur différence et leur produit appartiennent encore à B : $B\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }x,y\in B,x-y\in B\text{ et }xy\in BB\backslash neq\backslash varnothing,\backslash qquad\; \backslash forall\; x,y\backslash in\; B,\backslash quad\; x-y\backslash in\; B\backslash \; \backslash text\{\; et\; \}\backslash \; xy\backslash in\; B$. La stabilité par différence réunit trois exigences : la stabilité par addition, la présence du zéro de A et la présence de l'opposé de chaque élément. La stabilité par produit tient compte de la seconde loi. L'associativité et la distributivité sont héritées de A.

Une convention doit être annoncée à propos de l'unité multiplicative. Si un anneau n'est pas tenu d'être unitaire, le critère précédent suffit. Dans un cadre d'anneaux unitaires, un sous-anneau est souvent tenu de contenir l'unité de A ; il faut alors ajouter la condition 1_A ∈ B.

Un sous-anneau réunit cinq éléments liés. L'anneau ambiant A fournit les deux lois. La partie non vide B sélectionne les éléments conservés. L'addition induite doit maintenir dans B les sommes, le zéro de A et les opposés. La multiplication induite doit maintenir dans B tous les produits. Enfin, les identités de l'anneau, comme l'associativité et la distributivité, restent vraies parce que les calculs sont ceux de A.

Le choix de B dépend donc des deux opérations à la fois : être un sous-groupe pour l'addition ne suffit pas si un produit sort de B. Ces données suffisent à calculer dans B sans quitter l'anneau ambiant.

Vérifions que l'ensemble ℤ des entiers est un sous-anneau de l'ensemble ℚ des rationnels. Les données sont l'anneau ambiant A = ℚ, la partie B = ℤ et les addition et multiplication usuelles, restreintes aux entiers.

1. La partie ℤ n'est pas vide, puisque 0 est un entier.

2. Prenons deux entiers quelconques m et n. Leur différence m − n est un entier. Cette vérification assure à la fois la stabilité par addition, la présence de 0 et celle des opposés.

3. Le produit mn de deux entiers est encore un entier. Le contrôle sur les valeurs −3 et 5 illustre les deux fermetures sans remplacer le raisonnement général.

4. Les autres propriétés d'anneau sont héritées de ℚ. Ainsi, ℤ est un sous-anneau de ℚ. Le contrôle m = −3 et n = 5 donne −3 − 5 = −8 et (−3) × 5 = −15 : les deux résultats appartiennent bien à ℤ. De plus, 1 appartient à ℤ, donc l'exemple convient aussi à la convention qui exige la même unité.

Pour confirmer qu'une partie est un sous-anneau, le test par différence et produit évite de reprendre séparément tous les axiomes. Il faut choisir deux éléments quelconques, pas seulement quelques exemples numériques.

Pour réfuter une candidature, un seul témoin suffit. Les entiers naturels dans ℤ restent stables par addition et multiplication, mais l'opposé de 1 n'y appartient pas ; ils ne passent donc pas le critère donné.

Lorsque le problème se place dans des anneaux unitaires, vérifiez aussi la convention employée. Si la même unité est exigée, ajoutez le test 1_A ∈ B. Dans le cadre non unitaire de la définition source, le critère par différence et produit suffit.

Sous-anneau et sous-groupe additif. Un sous-groupe additif satisfait le test par différence, mais pas nécessairement celui du produit. Dans ℚ, la partie formée des multiples entiers de 1/2 est un sous-groupe additif ; pourtant (1/2) × (1/2) = 1/4 n'en fait pas partie, donc ce n'est pas un sous-anneau.

Sous-anneau et idéal. Un idéal doit absorber la multiplication par tout élément de l'anneau ambiant, et pas seulement les produits de ses propres éléments. Ainsi, ℤ est un sous-anneau de ℚ, mais pas un idéal de ℚ : le produit de 1 ∈ ℤ par 1/2 ∈ ℚ n'appartient pas à ℤ.

Convention sur l'unité. La partie 2ℤ des entiers pairs est stable par différence et produit. Elle est donc un sous-anneau de ℤ selon le critère de cette fiche, mais elle ne contient pas 1. Si le cadre exige la même unité multiplicative, il faut annoncer cette convention et rejeter 2ℤ.

Partie vide. Les affirmations « pour tous x et y dans B » sont automatiquement satisfaites lorsque B est vide, sans produire un anneau. Le symptôme est une preuve de stabilité sans aucun élément disponible ; il faut vérifier B ≠ ∅ avant les deux fermetures.

Opposés oubliés. Tester seulement les sommes et les produits ne suffit pas. Les entiers naturels passent ces deux tests dans ℤ, mais −1 manque. Le test par différence révèle immédiatement l'échec en prenant 0 et 1.

Lois remplacées. Une partie peut devenir un anneau avec des opérations spécialement définies sans être un sous-anneau pour autant. Il faut toujours calculer avec les restrictions exactes de l'addition et de la multiplication de A.

De l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite » — Situer les anneaux et leurs sous-structures dans le passage des calculs usuels aux structures abstraites.

Localisation (anneau) — Prolonger l'étude des anneaux par une construction qui rend certains éléments inversibles.