sous-groupe - structure algébrique -

Prenons les entiers multiples de 3 : …, −6, −3, 0, 3, 6, … Additionner deux de ces nombres donne encore un multiple de 3. L'opposé d'un multiple de 3 en est aussi un, et 0 appartient à la collection.

Cette collection vit donc à l'intérieur du groupe des entiers sans perdre les opérations nécessaires pour former un groupe. C'est l'idée d'un sous-groupe : une partie dans laquelle la loi du groupe d'origine continue de fonctionner entièrement.

Un sous-groupe est une partie non vide H d'un groupe G qui devient elle-même un groupe lorsqu'on lui applique la loi de G. La loi n'est pas remplacée : elle est simplement restreinte aux éléments de H. Il faut donc que le résultat de l'opération reste dans H, que l'élément neutre de G appartienne à H et que l'inverse de chaque élément de H appartienne aussi à H.

Ces exigences se vérifient en une seule condition. Pour deux éléments quelconques x et y de H, l'élément obtenu en composant x avec l'inverse de y doit encore appartenir à H : $x\mathrm{\top }{y}^{-1}\in Hx\; \backslash top\; y^\{-1\}\; \backslash in\; H$. Avec une loi notée par une multiplication, ce test s'écrit x y⁻¹ ∈ H. Avec une loi notée par une addition, l'inverse est appelé opposé et le test devient x − y ∈ H.

Le critère implique les trois propriétés précédentes. En prenant x = y, on obtient le neutre. En composant ensuite le neutre avec l'inverse d'un élément, on obtient son inverse dans H. Enfin, une nouvelle application du critère donne la stabilité par la loi.

Quatre données interviennent. Le groupe ambiant G fournit les éléments et la loi. La partie H, nécessairement non vide, sélectionne les éléments candidats. La loi restreinte effectue dans H exactement les mêmes opérations que dans G. Enfin, le critère de sous-groupe contrôle en une fois le neutre, les inverses et la stabilité.

H dépend donc de G : l'inverse utilisé est d'abord celui calculé dans le groupe ambiant. La loi restreinte dépend elle aussi de la stabilité, car elle ne définit une opération interne sur H que si son résultat ne sort jamais de H. Ces données suffisent à décider si la structure portée par H est bien un groupe. Le nom des éléments ou la manière de les représenter ne change pas cette décision.

Dans le groupe des entiers ℤ muni de l'addition, considérons la partie H = 3ℤ formée des multiples de 3.
Données : un élément de H s'écrit 3m avec m entier ; la loi est l'addition ; l'inverse pour cette loi est l'opposé ; le critère à tester est donc la stabilité de x − y.

1. La partie n'est pas vide : 0 = 3 × 0 appartient à H.

2. Prenons deux éléments quelconques x = 3m et y = 3n de H. Leur différence vaut $x-y=3m-3n=3(m-n)x-y=3m-3n=3(m-n)$. Comme m − n est encore un entier, x − y est un multiple de 3 et appartient à H.

3. Le critère est satisfait pour tous les couples de H : 3ℤ est donc un sous-groupe de (ℤ, +). Un contrôle concret donne 12 − 3 = 9 ; 9 est bien un multiple de 3. Ce calcul illustre le test, tandis que l'écriture avec m et n le prouve pour tous les éléments.

Pour prouver qu'une partie non vide est un sous-groupe, on choisit deux de ses éléments sous leur forme générale. On calcule x ⊤ y⁻¹ et l'on montre que le résultat garde cette forme. Cette voie regroupe les vérifications séparées de la loi, du neutre et des inverses.

Pour réfuter la propriété, un seul couple suffit. Si deux éléments x et y appartiennent à la partie mais que x ⊤ y⁻¹ n'y appartient pas, la partie n'est pas un sous-groupe.

La notation dicte le geste de calcul. En écriture additive, on cherche x − y. En écriture multiplicative, on cherche x y⁻¹. Le bon choix se reconnaît donc à la loi du groupe ambiant, pas à l'apparence des éléments.

Une partie stable par la loi. La stabilité seule ne garantit ni la présence du neutre ni celle des inverses. Les entiers naturels sont stables par addition, mais l'opposé de 1 n'est pas un entier naturel ; ils ne forment donc pas un sous-groupe de (ℤ, +).

Un sous-groupe distingué. Tout sous-groupe satisfait le critère x y⁻¹ ∈ H. Un sous-groupe distingué satisfait en plus la stabilité par conjugaison : pour tout élément g du groupe ambiant et tout h de H, g h g⁻¹ appartient à H. Dans un groupe commutatif, cette condition supplémentaire est automatiquement satisfaite.

Partie vide. Le critère portant sur tous les couples serait satisfait sans aucun calcul, faute de couple à tester. Ce résultat trompeur est évité par l'hypothèse obligatoire que H est non vide.

Stabilité vérifiée trop vite. Tester quelques valeurs, comme 12 − 3 = 9 dans 3ℤ, ne constitue pas une preuve générale. Il faut partir de deux éléments quelconques, ici 3m et 3n, puis établir que 3(m − n) reste dans la partie.

Inverse pris dans une autre structure. Dans x ⊤ y⁻¹, l'inverse de y est celui du groupe ambiant G pour la loi ⊤. Changer de loi peut changer l'inverse et invalider le test.

Cas extrêmes. Le sous-groupe réduit au seul élément neutre et le groupe G tout entier sont toujours des sous-groupes de G. Le mot « sous » n'impose donc pas que H soit strictement plus petit que G.

Le sous-groupe distingué ajoute au sous-groupe une invariance qui autorise la construction d'un quotient.

Le groupe quotient montre ce que l'on obtient en regroupant les éléments suivant un sous-groupe distingué.

L'article Les débuts des groupes replace la notion de groupe dans son contexte historique.