Caractéristique d'un anneau

Dans l'anneau ℤ/6ℤ, ajouter l'unité fait défiler les six classes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, puis de nouveau 0. Il faut exactement six additions pour revenir au point de départ. La caractéristique vaut donc 6.

Dans ℤ, aucune répétition positive de 1 ne donne 0 : sa caractéristique vaut 0 par convention. La caractéristique mesure ainsi le rythme additif imposé par l'unité, et non le nombre total d'éléments de l'anneau.

Soit A un anneau muni d'une unité, notée 1_A. Pour un entier positif n, le produit n·1_A désigne la somme de n copies de cette unité. La caractéristique de A est définie par :

Si cet ensemble est vide, on pose car(A) = 0. Cette définition équivaut à regarder l'homomorphisme qui envoie chaque entier k sur k·1_A : son noyau est soit réduit à 0, soit formé des multiples d'un unique entier positif, la caractéristique. Dans un anneau quelconque, cette valeur peut être composée, comme 6 pour ℤ/6ℤ. Dans un anneau intègre non nul, et donc dans un corps, une caractéristique positive est nécessairement un nombre premier p. Un corps fini de caractéristique p est un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 sur le corps à p éléments ; il possède donc pⁿ éléments, si bien que p divise son cardinal. Les corps ℚ, ℝ et ℂ ont, eux, la caractéristique 0.

Le calcul mobilise cinq éléments de structure. L'addition permet de répéter un élément ; le zéro 0_A est le point auquel on cherche à revenir ; la multiplication distingue l'unité 1_A ; les entiers comptent ses répétitions ; enfin, l'application k ↦ k·1_A relie ℤ à A.

L'unité dépend de la multiplication, mais sa caractéristique se lit dans le groupe additif de l'anneau. Le noyau de l'application issue de ℤ détermine ensuite toutes les relations entières vérifiées par 1_A. Dans ℤ/6ℤ, la chaîne complète des additions montre que 6·1 = 0 et qu'aucun entier positif plus petit ne convient.

Déterminons la caractéristique de l'anneau A = ℤ/6ℤ. Ses éléments sont les six classes 0, 1, 2, 3, 4 et 5 ; l'addition s'effectue modulo 6, et l'unité 1_A est la classe de 1.

1. Additionnons successivement l'unité : 1·1_A = 1, 2·1_A = 2, 3·1_A = 3, 4·1_A = 4 et 5·1_A = 5. Aucun de ces résultats n'est nul.

2. La sixième addition donne 6·1_A = 0, car 6 est congru à 0 modulo 6. La chaîne des six passages rend visible ce premier retour à zéro.

3. Le plus petit entier positif convenable est donc 6 : car(A) = 6. Le contrôle est immédiat, puisque les cinq multiples positifs précédents correspondent aux cinq classes non nulles.

4. Cette valeur composée signale que A n'est ni un corps ni un anneau intègre : les classes 2 et 3 sont non nulles, mais leur produit vaut 0 modulo 6.

Dans un quotient ℤ/nℤ avec n ≥ 2, suivez les multiples de la classe de 1 : le premier retour à 0 se produit après n additions. Si l'anneau n'est pas présenté comme un quotient, cherchez plutôt le noyau de l'application k ↦ k·1_A.

Dans un calcul sur un corps de caractéristique p, p copies d'un même élément ont une somme nulle. Ce fait permet notamment de simplifier (a + b)^p en a^p + b^p ; en caractéristique 0 ou composée, cette simplification n'est pas garantie.

Pour tester l'ordre possible d'un corps fini, commencez par identifier son premier p. Un cardinal qui n'est pas une puissance de p exclut ce corps ; pour un anneau fini général, ce critère ne suffit pas à conclure qu'il s'agit d'un corps.

Caractéristique et cardinal. La caractéristique est l'ordre additif de l'unité, tandis que le cardinal compte tous les éléments. Le produit de corps (ℤ/2ℤ) × (ℤ/2ℤ) possède quatre éléments, mais sa caractéristique vaut 2.

Ordre additif et ordre multiplicatif. Pour calculer la caractéristique, on additionne 1_A à lui-même. Sous la multiplication, cette même unité vérifie déjà 1_A · 1_A = 1_A ; son ordre multiplicatif vaut donc 1, quelle que soit la caractéristique de l'anneau non nul.

La valeur 0 est une convention. Elle ne signifie pas que 0·1_A serait le premier multiple nul. Elle indique qu'aucun entier strictement positif n'annule l'unité, comme dans ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.

Une caractéristique composée est possible. L'affirmation « 0 ou un nombre premier » exige un anneau intègre non nul, ou un corps. Dans ℤ/6ℤ, la caractéristique 6 est composée et 2·3 = 0 révèle des diviseurs de zéro.

L'anneau nul demande une convention explicite. Lorsque 1_A = 0_A, le plus petit entier positif qui annule l'unité est 1. Ce cas est exclu de la définition usuelle d'un corps et de celle d'un anneau intègre non nul.

La puissance pⁿ concerne les corps finis. Un anneau fini de caractéristique p n'est pas automatiquement un corps. Par exemple, (ℤ/2ℤ) × (ℤ/2ℤ) a 2² éléments et la caractéristique 2, mais possède des diviseurs de zéro.

anneau quotient — Retrouver pourquoi les multiples de l'unité se lisent modulo un entier dans ℤ/nℤ.

anneau intègre — Relier l'absence de diviseurs de zéro au fait qu'une caractéristique positive est première.

nombre premier — Revoir la propriété arithmétique qui interdit une caractéristique positive composée dans un anneau intègre.