anneau noethérien

Dans un anneau de polynômes, on peut décrire un idéal en donnant des éléments qui servent de briques de départ. Tous leurs multiples et toutes leurs sommes appartiennent alors au même idéal. Un anneau est noethérien lorsque chaque idéal possède une liste finie de telles briques, même s’il contient une infinité d’éléments.

Cette finitude empêche aussi d’agrandir indéfiniment un idéal par ajouts réellement nouveaux. Toute chaîne croissante finit par ne plus changer. La propriété ne dit donc pas que l’anneau est fini : elle garantit que ses idéaux restent contrôlables par une quantité finie d’information.

Soit A un anneau commutatif. Un idéal I de A est dit de type fini lorsqu’il existe des éléments a₁, …, a_n de I tels que I soit exactement l’ensemble de leurs combinaisons à coefficients dans A. On écrit alors $I=(a_1,\dots ,a_n)I=(a\_1,\backslash ldots,a\_n)$. L’anneau A est noethérien lorsque chacun de ses idéaux admet une telle famille finie de générateurs.

Deux critères donnent exactement la même propriété. D’une part, toute suite croissante d’idéaux $I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq \cdots I\_0\backslash subseteq\; I\_1\backslash subseteq\; I\_2\backslash subseteq\backslash cdots$ devient stationnaire : à partir d’un certain rang, tous les idéaux sont égaux. D’autre part, dans tout ensemble non vide d’idéaux de A, il existe un idéal maximal pour l’inclusion parmi ceux de cet ensemble. « Maximal » est ici relatif à la famille considérée.

Un anneau de polynômes à coefficients dans un corps est noethérien. Plus généralement, toute algèbre de type fini sur un corps l’est aussi. Ces anneaux portent le nom d’Emmy Noether, qui en formula les propriétés fondamentales.

Quatre éléments structurent la notion. L’anneau commutatif A est le cadre des opérations. Ses idéaux sont les sous-groupes additifs de A stables par multiplication par tout élément de A. Les générateurs sont des éléments dont les combinaisons produisent tout un idéal. Enfin, l’inclusion ordonne les idéaux et permet de former des chaînes croissantes.

Les générateurs dépendent de l’idéal choisi : une même liste ne décrit pas tous les idéaux de A. La condition noethérienne relie ensuite cette génération à l’ordre par inclusion. Une famille finie pour chaque idéal équivaut à l’impossibilité d’avoir une chaîne croissante qui change à chaque rang. Cette structure suffit pour remplacer de nombreux arguments portant sur une infinité d’éléments par un nombre fini de générateurs.

On travaille dans l’anneau A = ℚ[x] des polynômes à coefficients rationnels. L’idéal I est engendré par les deux polynômes x² et x³. Les données sont donc l’anneau A, la variable x et la famille de générateurs {x², x³}.

1. Comme x³ = x × x², le second générateur est déjà un multiple du premier. Toute combinaison de x² et x³ est donc un multiple de x².

2. Réciproquement, x² appartient à I puisqu’il figure parmi les générateurs. On obtient ainsi $I=(x^2,x^3)=(x^2)I=(x^2,x^3)=(x^2)$ : un seul générateur suffit.

3. Les idéaux principaux formés par les puissances successives donnent la chaîne $(x^3)⊊(x^2)⊊(x)⊊\mathbb{Q}[x](x^3)\backslash subsetneq(x^2)\backslash subsetneq(x)\backslash subsetneq\backslash mathbb\{Q\}[x]$. Elle atteint l’anneau entier, puis reste constante si on la prolonge par A.

Le contrôle des inclusions se refait par divisibilité : tout multiple de x³ est un multiple de x², mais x² n’est pas un multiple polynomial de x³. Cette chaîne illustre la stationnarité sans prouver à elle seule que toutes les chaînes se stabilisent. La propriété générale vient ici du fait que ℚ est un corps et que ℚ[x] est un anneau de polynômes sur ce corps.

Pour décrire un idéal, on cherche une famille finie de générateurs et l’on retire ceux qui sont déjà produits par les autres. Dans l’exemple, x³ est redondant face à x². Une liste minimale est alors plus utile qu’une accumulation de multiples.

Pour montrer qu’un processus d’ajout de contraintes s’arrête, on traduit chaque étape par un idéal plus grand. Dans un anneau noethérien, la chaîne finit par se stabiliser. Hors de ce cadre, il faut une autre raison d’arrêt, car la propriété n’est plus garantie.

Pour reconnaître des exemples, les anneaux de polynômes sur un corps et les algèbres de type fini sur un corps fournissent un point de départ sûr. Examiner seulement quelques idéaux particuliers ne suffit pas : on utilise la structure globale de l’anneau.

Anneau artinien. La condition noethérienne porte sur les chaînes croissantes d’idéaux. La condition artinienne porte sur les chaînes décroissantes. Pour les distinguer, il faut donc lire le sens des inclusions ; les deux propriétés ne sont pas synonymes.

Algèbre de type fini sur un corps. Cette expression signifie que l’algèbre elle-même est engendrée par un nombre fini d’éléments comme algèbre. « Noethérien » signifie que chacun de ses idéaux est finiment engendré comme idéal. Une algèbre de type fini sur un corps est noethérienne, mais les deux formulations ne décrivent pas la même donnée.

Un exemple d’idéal ne suffit pas. Montrer que (x², x³) possède un générateur ne prouve pas que l’anneau entier est noethérien. Il faut un argument valable pour tout idéal, ou l’un des critères équivalents appliqué à toute chaîne croissante.

Une longue chaîne n’est pas un contre-exemple. La condition interdit une chaîne croissante infinie dont toutes les inclusions sont strictes. Une chaîne peut comporter autant d’étapes finies que l’on veut ; elle respecte la condition dès qu’elle devient constante à partir d’un certain rang.

Une infinité de variables change la situation. Dans l’anneau de polynômes ℚ[x₁, x₂, …], la chaîne $(x_1)⊊(x_1,x_2)⊊(x_1,x_2,x_3)⊊\cdots (x\_1)\backslash subsetneq(x\_1,x\_2)\backslash subsetneq(x\_1,x\_2,x\_3)\backslash subsetneq\backslash cdots$ ne se stabilise pas. Cet anneau n’est donc pas noethérien, contrairement à un anneau de polynômes en un nombre fini de variables sur un corps.

Le cadre commutatif compte. La définition de cette fiche concerne les anneaux commutatifs. Pour un anneau non commutatif, il faut préciser si l’on étudie les idéaux à gauche, à droite ou bilatères ; ces conditions peuvent différer.

algèbre — Pour replacer anneaux, opérations et structures engendrées dans le vocabulaire général de l’algèbre.

Inoubliable Emmy Noether — Pour découvrir la mathématicienne dont le nom est attaché à cette condition de finitude.