Nakayame (lemme de)

Imaginez un module comme un ensemble d’objets que l’on peut additionner et multiplier par les éléments d’un anneau. Dans un anneau local, l’idéal maximal rassemble les multiplicateurs qui ne sont pas inversibles.

Si un module engendré par un nombre fini d’éléments ne change pas lorsqu’on le multiplie tout entier par cet idéal, le lemme de Nakayama affirme qu’il ne contenait rien d’autre que zéro. Autrement dit, la réduction modulo l’idéal maximal ne peut pas faire disparaître un module fini non nul.

Le lemme de Nakayama concerne un module M de type fini sur un anneau commutatif A. Pour un idéal I de A contenu dans le radical de Jacobson, c’est-à-dire dans l’intersection des idéaux maximaux de A, il donne l’implication $IM=M⟹M=0IM=M\backslash Longrightarrow\; M=0$. La condition « de type fini » signifie qu’un nombre fini d’éléments engendre M.

Dans le cas classique, A est local : il possède un unique idéal maximal, noté $\mathfrak{m}\backslash mathfrak\; m$, qui est alors son radical de Jacobson. Le critère devient donc $\mathfrak{m}M=M⟹M=0\backslash mathfrak\; mM=M\backslash Longrightarrow\; M=0$, ou, de façon équivalente, $M\mathrm{/}\mathfrak{m}M=0⟹M=0M/\backslash mathfrak\; mM=0\backslash Longrightarrow\; M=0$.

Une forme très utilisée porte sur les générateurs : si des éléments de M ont des images qui engendrent le quotient $M\mathrm{/}IMM/IM$, alors ces éléments engendrent déjà M. Le lemme transforme ainsi une vérification dans un quotient souvent plus simple en une conclusion sur le module entier.

Soit A un anneau commutatif, soit I un idéal contenu dans le radical de Jacobson de A et soit M un A-module de type fini. Si $IM=MIM=M$, alors $M=0M=0$. Pour un anneau local d’idéal maximal $\mathfrak{m}\backslash mathfrak\; m$, il suffit de prendre $I=\mathfrak{m}I=\backslash mathfrak\; m$.

Trois vérifications sont essentielles : M doit être engendré par un nombre fini d’éléments ; I doit être contenu dans le radical de Jacobson de A ; enfin, l’égalité $IM=MIM=M$ doit porter sur tout le module. Dans un anneau local, la deuxième condition est automatiquement satisfaite pour l’idéal maximal.

Sans la condition sur I, la conclusion peut échouer. Dans l’anneau des entiers, le radical de Jacobson est nul. Pour l’idéal $I=(2)I=(2)$ et le module $M=\mathbb{Z}\mathrm{/}3\mathbb{Z}M=\backslash mathbb\; Z/3\backslash mathbb\; Z$, la multiplication par 2 est bijective, donc $IM=MIM=M$, alors que M n’est pas nul. Il faut alors vérifier les générateurs par un autre argument.

Prenons l’anneau A formé des fractions d’entiers dont le dénominateur est impair. Il est local, d’idéal maximal $\mathfrak{m}=2A\backslash mathfrak\; m=2A$. Considérons le A-module $M=A\mathrm{/}4AM=A/4A$, dont les éléments sont représentés par les quatre classes 0, 1, 2 et 3 modulo 4.

1. Multiplions M par l’idéal maximal : $\mathfrak{m}M=2M=\{\bar{0},\bar{2}\}\backslash mathfrak\; mM=2M=\backslash \{\backslash overline\; 0,\backslash overline\; 2\backslash \}$.

2. Le quotient $M\mathrm{/}\mathfrak{m}MM/\backslash mathfrak\; mM$ possède deux classes : celle de 0 et celle de 1. L’image de 1 engendre donc ce quotient.

3. Par la forme génératrice du lemme de Nakayama, la classe de 1 engendre M lui-même. On le contrôle directement : ses multiples par 0, 1, 2 et 3 donnent les quatre classes de M.

La même réduction montre aussi que M n’est pas nul : son quotient modulo $\mathfrak{m}M\backslash mathfrak\; mM$ n’est pas nul. Le schéma associé matérialise les deux paires de classes qui se confondent dans ce quotient.

Pour montrer qu’un module de type fini sur un anneau local est nul, on calcule son quotient par l’idéal maximal. Si ce quotient est nul, Nakayama conclut immédiatement ; sinon, ses éléments non nuls indiquent que le module ne peut pas être nul.

Pour construire des générateurs, on travaille d’abord dans le quotient, qui est un espace vectoriel sur le corps résiduel. On relève ensuite une base de ce quotient dans le module ; Nakayama garantit que les éléments relevés engendrent le module.

Cette stratégie est préférable à une recherche directe lorsque le quotient est facile à calculer. Si le module n’est pas de type fini ou si l’idéal n’appartient pas au radical de Jacobson, il faut employer un argument adapté plutôt que le lemme.

Le lemme de Nakayama ne dit pas qu’un module engendré par n éléments est libre de rang n. Il garantit seulement que certains éléments engendrent le module. Par exemple, sur un anneau local A d’idéal maximal non nul $\mathfrak{m}\backslash mathfrak\; m$, le module $A\mathrm{/}\mathfrak{m}A/\backslash mathfrak\; m$ est engendré par la classe de 1, mais il n’est pas libre comme A-module puisque tout élément de $\mathfrak{m}\backslash mathfrak\; m$ annule cette classe.

La finitude est indispensable. Pour un corps k, prenons l’anneau local des séries formelles $A=k[[x]]A=k[[x]]$ et le module $M=k((x))\mathrm{/}k[[x]]M=k((x))/k[[x]]$. Ce module est non nul et vérifie $xM=MxM=M$, mais il n’est pas de type fini. On ne peut donc pas lui appliquer Nakayama.

L’inclusion de I dans le radical de Jacobson n’est pas décorative : l’exemple $2(\mathbb{Z}\mathrm{/}3\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\mathrm{/}3\mathbb{Z}2(\backslash mathbb\; Z/3\backslash mathbb\; Z)=\backslash mathbb\; Z/3\backslash mathbb\; Z$ montre que la conclusion devient fausse hors de ce cadre. Il faut contrôler cette inclusion avant de conclure.

Enfin, $IM=MIM=M$ signifie que les sommes finies de produits d’éléments de I par des éléments de M remplissent M. Cela ne signifie pas qu’un élément particulier de I agit sur M de manière surjective.

Le radical de Jacobson précise pourquoi l’idéal utilisé par Nakayama doit appartenir à tous les idéaux maximaux : cette position rend les éléments de la forme 1 moins un élément de I inversibles.