Nilradical

Dans l'anneau des restes modulo 8, multiplions plusieurs fois 2 par lui-même. On obtient 2, puis 4, puis 0 : le nombre 2 finit par s'annuler. Il est nilpotent. Les restes 0, 2, 4 et 6 ont ce comportement, tandis que 1, 3, 5 et 7 ne l'ont pas. Le nilradical rassemble précisément tous les éléments qui disparaissent ainsi après un nombre fini de multiplications par eux-mêmes.

Soit A un anneau commutatif. Un élément x de A est nilpotent s'il existe un entier n supérieur ou égal à 1 tel que xⁿ = 0. Le nilradical de A, noté Nil(A) ou nilrad(A), est l'ensemble de ces éléments : $\mathrm{Nil}(A)=\{x\in A\mid \mathrm{\exists }n\ge 1,x^n=0\}\backslash operatorname\{Nil\}(A)=\backslash \{x\backslash in\; A\backslash mid\; \backslash exists\; n\backslash ge\; 1,\backslash \; x^n=0\backslash \}$. Cet ensemble est un idéal : la somme de deux éléments nilpotents est nilpotente, et le produit d'un élément nilpotent par n'importe quel élément de A reste nilpotent. La commutativité de A intervient dans ces propriétés.

Le nilradical se caractérise aussi par les idéaux premiers de A : Autrement dit, un élément est nilpotent exactement lorsqu'il appartient à tout idéal premier. Le quotient A/Nil(A) est réduit : sa seule classe nilpotente est la classe nulle. En géométrie algébrique, les fonctions nilpotentes sont nulles en chaque point de la variété sous-jacente ; passer au quotient réduit les supprime de l'anneau de coordonnées.

Considérons l'anneau A des classes d'entiers modulo 8. Les données sont les huit classes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, avec une multiplication dont on remplace chaque résultat par son reste modulo 8.

Étape 1. Calculons les puissances des classes paires non nulles. La classe 0 est déjà nulle. Les quatre classes paires sont donc nilpotentes.

Étape 2. Une puissance d'une classe impaire reste impaire modulo 8. Elle ne peut donc jamais être la classe 0. Les classes 1, 3, 5 et 7 ne sont pas nilpotentes. La figure récapitule ce tri et les calculs qui mènent les classes paires à 0.

Étape 3. On obtient Nil(A) = {0, 2, 4, 6}, qui est l'idéal engendré par 2. C'est aussi l'unique idéal premier de A, donc l'intersection de tous les idéaux premiers.

Contrôle. Dans le quotient A/Nil(A), toutes les classes paires deviennent 0 et toutes les classes impaires deviennent 1. Il reste un anneau à deux éléments, sans élément nilpotent non nul : le quotient est bien réduit.

Pour savoir si un anneau commutatif est réduit, on cherche son nilradical. S'il se limite à l'élément 0, l'anneau est réduit. Dans un petit anneau fini, on peut tester directement les puissances de chaque élément ; dans un anneau plus structuré, une description de ses idéaux premiers peut être plus efficace.

Lorsqu'on forme un anneau quotient, le calcul du nilradical indique si des classes non nulles finissent par s'annuler. Dans l'exemple modulo 8, les classes paires signalent immédiatement que l'anneau n'est pas réduit ; quotienter encore par ces classes donne l'anneau réduit à deux éléments.

En géométrie algébrique, on passe à l'anneau réduit lorsque seule la variété sous-jacente et ses points importent. On conserve au contraire l'anneau initial lorsque l'information portée par les fonctions nilpotentes doit rester visible.

Nilradical et radical d'un idéal. Le radical d'un idéal I rassemble les éléments dont une puissance appartient à I. Le nilradical est le cas particulier où I est l'idéal nul. Dans l'anneau des entiers, le radical de l'idéal engendré par 4 est l'idéal engendré par 2, tandis que le nilradical se réduit à 0.

Nilradical et radical de Jacobson. Le premier est l'intersection des idéaux premiers ; le second est l'intersection des idéaux maximaux. Ils peuvent coïncider sans être la même notion. Dans l'anneau des séries formelles en une variable sur un corps, le nilradical vaut 0, mais le radical de Jacobson est formé des séries dont le terme constant est nul.

Le cadre commutatif est indispensable. Dans l'anneau des matrices réelles à deux lignes et deux colonnes, considérons les matrices N et M suivantes : Leurs carrés sont nuls, mais le carré de leur somme est la matrice identité. Les éléments nilpotents ne sont donc pas stables par addition dans tout anneau non commutatif ; il faut employer un radical adapté à ce cadre.

L'exposant n'est pas fixé une fois pour toutes. La définition demande, pour chaque élément x, l'existence d'au moins un entier n tel que xⁿ = 0. Deux éléments du même nilradical peuvent donc s'annuler à des puissances différentes. Il faut chercher un exposant propre à l'élément étudié.

Réduit ne signifie pas sans zéro. L'élément 0 est toujours nilpotent, puisque 0¹ = 0. Un anneau réduit a donc un nilradical égal à {0}, et non un nilradical vide. Le test porte sur l'absence d'éléments nilpotents non nuls.

La réduction oublie une partie de la structure. Les idéaux premiers de A/Nil(A) correspondent canoniquement à ceux de A, mais les deux anneaux ne sont pas nécessairement isomorphes. Le quotient convient pour retirer les nilpotents, pas pour conserver l'information qu'ils portaient.

anneau quotient — Pour approfondir la construction qui transforme A en A/Nil(A) et comprendre quelles classes deviennent égales.

schéma - géométrie algébrique - — Pour situer les nilpotents dans un cadre géométrique qui conserve davantage que le seul ensemble de points.