Syzygie

Prenons les nombres 6 et 10. Multiplier 6 par 5 donne 30, tandis que multiplier 10 par −3 donne −30 : la somme s'annule. Le couple (5, −3) enregistre cette annulation. C'est une syzygie entre les deux générateurs 6 et 10.

Une syzygie décrit donc une manière précise de combiner des générateurs sans rien produire. Elle ne porte pas seulement sur les objets, mais aussi sur la liste choisie pour les présenter.

Soit un anneau commutatif R et un module M sur R, engendré par une liste de k éléments notés m₁, …, m_k. Un k-uplet de coefficients a₁, …, a_k, pris dans R, est une syzygie lorsque la combinaison correspondante est nulle dans M :

L'application qui envoie chaque k-uplet sur cette combinaison est un homomorphisme de R^k vers M. Son noyau est le module des syzygies, aussi appelé module des relations. La notion dépend donc de la famille de générateurs choisie, même lorsque le module M reste le même. Elle s'applique aussi à un idéal, considéré comme un module sur son anneau.

Si l'on choisit des générateurs du premier module de syzygies, les relations entre ces nouveaux générateurs sont des syzygies d'ordre supérieur. Leur étude successive construit une résolution libre. Dans le cadre du théorème des syzygies de Hilbert, un module de type fini sur un anneau de polynômes en n variables à coefficients dans un corps admet une résolution libre finie, de longueur au plus n. Les idéaux polynomiaux de ce cadre en bénéficient comme modules de type fini.

Dans l'anneau des entiers ℤ, considérons l'idéal engendré par 6 et 10. Les données sont les deux générateurs m₁ = 6 et m₂ = 10, ainsi que les coefficients candidats a₁ = 5 et a₂ = −3.

1. Multiplier le premier générateur par son coefficient donne 5 × 6 = 30.

2. Multiplier le second générateur par son coefficient donne −3 × 10 = −30.

3. Additionner les deux contributions donne 30 + (−30) = 0. Le couple (5, −3) est donc une syzygie de la liste (6, 10). La figure matérialise cette compensation exacte.

4. Pour trouver toutes les relations entières, partons de 6a + 10b = 0. Après division par 2, l'égalité devient 3a = −5b. Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, a est un multiple de 5 et b le multiple opposé de 3.

Le contrôle consiste à remplacer a et b par 5t et −3t, où t est un entier : 6 × 5t + 10 × (−3t) = 0. Le module des syzygies est ainsi engendré par (5, −3).

Pour vérifier une présentation d'un idéal ou d'un module, on substitue les coefficients d'une relation candidate et l'on contrôle que la combinaison vaut bien zéro. Si elle ne s'annule pas, le couple proposé n'est pas une syzygie.

Pour décrire toutes les relations, on cherche des générateurs du noyau de l'application qui présente le module. Un calcul direct suffit pour 6 et 10 ; avec beaucoup de polynômes, un calcul de bases de Gröbner devient préférable lorsque les éliminations manuelles se multiplient.

En algèbre homologique, on répète le geste sur les relations obtenues. On passe à une résolution libre lorsque l'objectif n'est plus une annulation isolée, mais l'organisation des syzygies successives et de leur longueur.

Syzygie algébrique et syzygie astronomique. En algèbre, le critère est une combinaison de générateurs égale à zéro. En astronomie, le mot désigne un alignement d'astres. Le calcul 5 × 6 − 3 × 10 = 0 relève donc uniquement du sens algébrique.

Générateur et relation entre générateurs. Un générateur contribue à produire les éléments du module ; une syzygie est un tuple de coefficients qui produit zéro. Dans l'exemple, 6 et 10 sont les générateurs, tandis que (5, −3) est la relation.

La liste de générateurs compte. Ajouter un générateur redondant crée de nouvelles relations évidentes. Il faut donc toujours annoncer la présentation utilisée au lieu de parler des syzygies d'un module sans préciser ses générateurs.

Un anneau n'est pas nécessairement un corps. Sur un anneau avec diviseurs de zéro, un coefficient non nul peut annuler un générateur non nul. Les raisonnements fondés sur la division ou l'indépendance vectorielle doivent alors être remplacés par un calcul dans l'anneau concerné.

Le générateur nul est un cas dégénéré. Si l'un des m_i vaut zéro, tout coefficient placé devant lui fournit une composante libre de relation. Ce phénomène doit être isolé avant d'interpréter les autres dépendances.

La finitude a un cadre précis. La borne de n étapes du théorème de Hilbert concerne les modules de type fini sur un anneau de polynômes en n variables sur un corps. Il ne faut pas transférer cette conclusion à un anneau arbitraire sans autre hypothèse.

Les syzygies successives transforment une présentation par générateurs et relations en une chaîne de modules libres. La longueur de cette chaîne et les rangs de ses termes renseignent sur la complexité homologique du module.

Dans un anneau de polynômes sur un corps, le théorème des syzygies de Hilbert donne un point d'arrêt : avec n variables, une résolution libre peut être choisie de longueur au plus n. Cette borne relie directement le nombre de variables à la longueur de la résolution libre ainsi obtenue.