GéométrieNotion · Glossaire
Initiale (topologie)
La topologie initiale sur un ensemble X par rapport à une famille d'applications (f_i : X -> Y_i) est la topologie la moins fine rendant toutes ces applications continues. Ses ouverts sont les unions d'intersections finies d'images réciproques d'ouverts de Y_i par les f_i. La topologie induite sur un sous-espace et la topologie produit sont des cas particuliers de la topologie initiale. Dualement, la topologie finale est la plus fine rendant certaines applications continues (quotient, somme disjointe).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire les ouverts à partir d'images réciproques, d'intersections finies et d'unions.
- Refaire un exemple complet sur un ensemble de trois points.
- Relier topologies induite et produit à la construction initiale.
- Distinguer topologies initiale et finale par le sens des applications et l'ordre de finesse.
En clair
Imaginez trois points et deux cartes qui attribuent à chacun la valeur 0 ou 1. On veut décider quelles zones autour des points seront ouvertes, tout en exigeant que les deux cartes soient continues. La topologie initiale conserve exactement les ouverts nécessaires à cette continuité, sans en ajouter inutilement.
Le geste essentiel consiste à ramener sur l'ensemble de départ les ouverts des espaces d'arrivée. On les croise un nombre fini de fois, puis on réunit librement les zones obtenues.
Définition
Soit X un ensemble. Pour chaque indice i, soit Yi un espace topologique et soit fi une application de X vers Yi. La topologie initiale associée à la famille des applications fi est la topologie la moins fine sur X qui les rend toutes continues. « Moins fine » signifie qu'elle contient le moins d'ouverts possible parmi les topologies satisfaisant cette exigence.
Les images réciproques fi−1(U), où U parcourt les ouverts de Yi, forment une sous-base. Les ouverts de X sont donc les unions quelconques d'intersections finies de ces images réciproques. L'intersection vide fournit X et l'union vide fournit l'ensemble vide, comme l'exigent les axiomes d'une topologie.
La topologie induite sur un sous-espace est obtenue avec l'application d'inclusion vers l'espace ambiant. La topologie produit est obtenue avec les projections vers les facteurs. Cette construction possède aussi un critère utile : une application g d'un espace Z vers X est continue exactement lorsque chaque composée fi ∘ g est continue.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'ensemble X formé des trois points a, b et c. Chaque espace d'arrivée Y1 et Y2 est l'ensemble {0, 1}, muni des ouverts ∅, {1} et {0, 1}. La première application f vaut 1 en a et b, puis 0 en c. La seconde application g vaut 0 en a, puis 1 en b et c.
1. L'image réciproque par f de l'ouvert {1} est {a, b}.
2. L'image réciproque par g de ce même ouvert est {b, c}.
3. Leur intersection finie est {b}. Les images réciproques des deux autres ouverts n'ajoutent que ∅ et X.
4. En prenant toutes les unions, on obtient exactement ∅, {b}, {a, b}, {b, c} et X. Cette famille est la topologie initiale cherchée.
Le contrôle se refait directement : les images réciproques des trois ouverts de chaque espace d'arrivée figurent dans la liste. Une représentation par deux zones qui se recouvrent rend visible pourquoi le point b devient ouvert à lui seul.
En pratique
Pour munir une partie d'un espace de sa topologie naturelle, on utilise l'inclusion de cette partie dans l'espace ambiant. Les ouverts obtenus sont alors les intersections de la partie avec les ouverts ambiants. Une topologie choisie indépendamment serait préférable seulement si l'on veut oublier cette relation avec l'espace ambiant.
Pour construire un produit d'espaces, on impose la continuité de toutes les projections vers les facteurs. La topologie initiale est le bon choix lorsque les observations séparées dans chaque coordonnée doivent déterminer la continuité ; une topologie plus fine ajouterait des ouverts sans que les projections l'exigent.
Pour vérifier qu'une application g vers X est continue, on peut examiner les composées fi ∘ g. Ce test est particulièrement utile lorsque les espaces d'arrivée sont plus simples que X. Il ne remplace pas la vérification directe si X porte une autre topologie que celle engendrée par la famille fi.
À ne pas confondre
Topologie finale. La topologie initiale se place sur le domaine commun d'applications allant de X vers des espaces Yi et elle est la moins fine qui les rend continues. La topologie finale se place sur le but commun d'applications arrivant dans X et elle est la plus fine qui les rend continues. Les projections d'un produit relèvent du premier cas ; une application quotient relève du second.
Topologie induite. Elle n'est pas une construction concurrente : c'est la topologie initiale associée à l'inclusion d'un sous-ensemble dans un espace topologique. Si plusieurs applications vers plusieurs espaces interviennent au lieu d'une inclusion unique, on revient à la construction initiale générale.
Limites et pièges
Famille vide d'applications. Aucune continuité n'impose alors d'ouvert supplémentaire. La topologie initiale est {∅, X}, la topologie grossière, et non la topologie discrète.
Une seule image réciproque ne suffit pas toujours. Les images réciproques d'ouverts constituent une sous-base. Il faut encore prendre leurs intersections finies, puis toutes leurs unions ; dans l'exemple, {b} apparaît précisément par intersection.
« Moins fine » ne signifie pas « sans information ». La construction retire seulement les ouverts que la continuité des applications données n'impose pas. Pour reconnaître le résultat, il faut comparer les familles d'ouverts par inclusion, et non compter intuitivement les points ou les applications.
Les applications doivent être fixées. Modifier une application ou la topologie d'un espace Yi peut changer ses images réciproques et donc la topologie obtenue. Il faut reconstruire la sous-base au lieu de conserver les anciens ouverts.
Pour aller plus loin
Topologie produit — Elle montre comment la construction initiale organise simultanément toutes les projections vers les facteurs.
Finale (topologie) — Elle présente la construction duale et éclaire les topologies quotient et de somme disjointe.
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