AnalyseNotion · Glossaire
Finale (topologie)
En théorie des catégories, une topologie finale (ou topologie la plus fine) sur un ensemble E par rapport à une famille de fonctions fi : Ei → E est la topologie la plus fine qui rend toutes ces fonctions continues. Un ensemble est ouvert pour la topologie finale si et seulement si son image réciproque par chaque fi est ouverte. La topologie quotient et la topologie somme disjointe sont des exemples de topologies finales. La notion est duale de la topologie initiale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les ouverts d’une topologie finale par leurs images réciproques.
- Refaire un exemple complet sur deux ensembles à deux points.
- Distinguer topologie finale, topologie quotient et topologie initiale.
- Repérer les cas d’une famille vide ou d’une arrivée non couverte.
En clair
Imaginons plusieurs espaces dont les points sont envoyés vers un même ensemble d’arrivée. On veut décider quels sous-ensembles de l’arrivée seront ouverts, sans casser la continuité de ces envois. Pour tester un candidat, on le ramène dans chaque espace de départ : toutes ses images réciproques doivent déjà y être ouvertes.
La topologie finale rassemble tous les candidats qui passent ce test. Elle conserve ainsi le plus grand nombre possible d’ouverts, tout en gardant continues les applications données.
Définition
Pour chaque indice i, soit Ei un espace muni d’une topologie 𝒯i. Soit E un ensemble, et soit fi une application de Ei vers E. La topologie finale associée à cette famille est la topologie la plus fine sur E pour laquelle toutes les applications fi sont continues.
Un sous-ensemble U de E est donc ouvert exactement lorsque son image réciproque par chaque application fi est ouverte dans Ei. En notant 𝒯f la topologie obtenue, ce critère s’écrit :
Cette famille contient l’ensemble vide et E, et elle est stable par unions quelconques et intersections finies : elle définit bien une topologie.
Avec une seule application surjective, cette construction donne une topologie quotient. Avec les injections canoniques de plusieurs espaces dans leur somme disjointe, elle donne la topologie de cette somme. La construction est duale de la topologie initiale, qui place au contraire une topologie sur l’ensemble de départ d’une famille d’applications.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’espace E1 = {a, b}, muni des ouverts ∅, {a} et {a, b}. L’ensemble d’arrivée est E = {p, q}. L’application f envoie a sur p et b sur q. Il faut déterminer la topologie finale sur E. Cette correspondance transporte le rôle particulier de {a} vers {p}.
1. Les quatre sous-ensembles candidats de E sont ∅, {p}, {q} et {p, q}.
2. Leurs images réciproques sont respectivement ∅, {a}, {b} et {a, b}.
3. Parmi ces quatre images réciproques, ∅, {a} et {a, b} sont ouvertes dans E1, tandis que {b} ne l’est pas.
4. On retient donc ∅, {p} et {p, q}.
2. Leurs images réciproques sont respectivement ∅, {a}, {b} et {a, b}.
3. Parmi ces quatre images réciproques, ∅, {a} et {a, b} sont ouvertes dans E1, tandis que {b} ne l’est pas.
4. On retient donc ∅, {p} et {p, q}.
La topologie finale est exactement {∅, {p}, {p, q}}. Le contrôle se refait directement : l’image réciproque de chacun de ces trois ouverts appartient bien à la topologie de E1. Ajouter {q} rendrait f discontinue, car f⁻¹({q}) = {b} n’est pas ouvert.
En pratique
Lorsqu’une application surjective identifie plusieurs points, on utilise la topologie quotient. Le geste décisif consiste à tester les ouverts dans l’espace de départ par image réciproque.
Lorsqu’un ensemble rassemble plusieurs espaces sans identifier leurs points, on choisit leur somme disjointe. Un sous-ensemble y est ouvert lorsque sa portion dans chaque espace de départ est ouverte.
Pour vérifier qu’une application partant de E est continue, la topologie finale ramène souvent le problème aux espaces Ei : on compose cette application avec chaque fi. Ce critère exploite précisément la manière dont E a reçu sa topologie.
À ne pas confondre
Topologie finale et topologie initiale. La première équipe l’ensemble d’arrivée d’applications fi : on y cherche la topologie la plus fine qui les rend continues. La seconde équipe leur ensemble de départ et retient la topologie la moins fine assurant leur continuité. Le sens des flèches tranche donc la confusion.
Topologie finale et topologie quotient. Toute topologie quotient provient d’une topologie finale associée à une application surjective. Une topologie finale générale peut toutefois être déterminée par plusieurs applications, sans qu’aucune soit surjective à elle seule. Lorsqu’on part d’une seule application surjective, on obtient le cas quotient.
Limites et pièges
Tester les images directes est un piège. La continuité se contrôle avec fi⁻¹(U), et non avec fi(U). Si un raisonnement suit les ouverts vers l’arrivée, il faut revenir au sous-ensemble U de E puis calculer toutes ses images réciproques.
Une famille vide produit un cas extrême. Sans aucune application, la condition « toutes les images réciproques sont ouvertes » ne rejette aucun sous-ensemble de E. La topologie finale est alors la topologie discrète, formée de toutes les parties de E.
Les applications ne couvrent pas forcément E. Un point situé hors de l’union de leurs images n’apparaît dans aucune image réciproque. Le critère n’impose donc aucune restriction à son ouverture : les parties de la zone non couverte peuvent être ajoutées librement aux ouverts.
Pour aller plus loin
La fiche Topologie quotient développe le cas d’une application surjective qui identifie des points.
La fiche Initiale (topologie) permet de comparer la construction duale, placée sur l’ensemble de départ.
L’article La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ? situe le langage de dualité dans un cadre plus général.
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