GéométrieThéorème · Glossaire
Auerbach (lemme de)
Le lemme d'Auerbach affirme que tout espace de Banach de dimension finie n admet une base de Auerbach, c'est-à-dire une base {e1, ..., en} et une base duale correspondante {f1, ..., fn} telles que ||ei|| = ||fi|| = 1 et fi(ej) = delta_ij (symbole de Kronecker). En d'autres termes, les n vecteurs de la base choisie et leurs n fonctionnels duaux ont tous une norme égale à 1. Ce résultat est utile en géométrie des espaces de Banach de dimension finie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une base de Auerbach par ses normes et ses relations de biorthogonalité.
- Vérifier le lemme sur la base canonique de ℝ² muni de la norme sup.
- Distinguer une base de Auerbach d'une base orthonormale ou seulement normalisée.
- Relier chaque couple biorthogonal à une projection de rang un de norme 1.
En clair
Dans un plan muni d'une norme, on cherche deux directions de référence et deux « règles de lecture » des coordonnées. Le lemme d'Auerbach garantit que ces quatre objets peuvent être calibrés à la même échelle : chaque direction et chaque règle ont une norme égale à 1.
Chaque règle reconnaît sa propre direction avec la valeur 1 et ignore l'autre avec la valeur 0. Cette correspondance biorthogonale joue, pour une norme quelconque, un rôle voisin de celui des axes unitaires dans le plan euclidien, sans exiger d'angles droits.
Définition
Soit un espace de Banach E de dimension finie n, et soit E* son espace dual, formé des applications linéaires continues de E vers le corps des scalaires. Une base de Auerbach est une base de vecteurs e1, …, en accompagnée de sa base duale f1, …, fn. Le fonctionnel fi extrait la i-ième coordonnée d'un vecteur dans cette base.
Les deux familles satisfont simultanément les relations suivantes :
Le symbole δij vaut 1 lorsque i = j et 0 sinon. La norme de fi est sa norme d'opérateur : elle mesure la plus grande valeur absolue que fi peut prendre sur la boule unité.
Tout vecteur x de E se reconstruit alors à partir de ses coordonnées : . Le lemme affirme l'existence d'une telle base dans tout espace de Banach de dimension finie ; il ne dit pas que toute base normalisée possède cette propriété.
Le principe
Si E est un espace de Banach de dimension finie n au moins égale à 1, alors il existe des vecteurs e1, …, en formant une base de E et des fonctionnels f1, …, fn formant la base duale correspondante tels que :
Les vecteurs et les fonctionnels sont donc à la fois biorthogonaux et normalisés.
Quand l'utiliser
Le résultat porte sur un espace de Banach réel ou complexe de dimension finie n au moins égale à 1. La norme de chaque vecteur est calculée dans E ; celle de chaque fonctionnel est la norme duale induite sur E*. La famille des fi n'est pas choisie indépendamment : elle doit être la base duale de la famille des ei.
Dans un espace de Banach de dimension infinie, cet énoncé ne fournit pas une base infinie de même nature. On ne peut donc pas invoquer directement le lemme pour décomposer tous les vecteurs en une série de coordonnées. On peut en revanche l'appliquer à chaque sous-espace de dimension finie, ou employer une théorie de bases adaptée au cadre infini.
Un exemple, pas à pas
Prenons le plan réel ℝ² muni de la norme sup : la norme d'un point de coordonnées x et y est le plus grand des nombres |x| et |y|. Choisissons les vecteurs e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1), puis les fonctionnels f1(x, y) = x et f2(x, y) = y.
Données : la boule unité est le carré défini par |x| ≤ 1 et |y| ≤ 1 ; le point p a pour coordonnées (1/2, −3/4). La figure associe les deux directions unitaires aux deux lectures de coordonnées.
1. Les deux vecteurs choisis ont une norme sup égale à 1.
2. Sur la boule unité, |x| et |y| ne dépassent jamais 1 ; chaque fonctionnel fi a donc une norme au plus égale à 1. Il atteint 1 sur ei, donc sa norme vaut exactement 1.
3. Les lectures croisées donnent f1(e1) = f2(e2) = 1 et f1(e2) = f2(e1) = 0.
2. Sur la boule unité, |x| et |y| ne dépassent jamais 1 ; chaque fonctionnel fi a donc une norme au plus égale à 1. Il atteint 1 sur ei, donc sa norme vaut exactement 1.
3. Les lectures croisées donnent f1(e1) = f2(e2) = 1 et f1(e2) = f2(e1) = 0.
Le contrôle se fait avec p : . Ses deux coefficients ont une valeur absolue inférieure ou égale à sa norme, qui vaut 3/4. Les deux familles constituent bien une base de Auerbach.
En pratique
Pour travailler avec des coordonnées dans un espace normé de dimension finie, une base de Auerbach donne immédiatement l'estimation |fi(x)| ≤ ‖x‖. Les coordonnées ne peuvent donc pas dépasser la taille du vecteur mesurée par la norme. Avec une base seulement normalisée, cette borne de constante 1 n'est pas garantie.
Chaque couple formé par ei et fi définit une projection de rang un, donnée par . Sa norme vaut exactement 1. Cette projection est utile lorsqu'on veut isoler une coordonnée sans amplifier la norme ; une projection sur plusieurs directions demande un contrôle supplémentaire.
Dans un espace euclidien, une base orthonormale apporte en plus l'orthogonalité et constitue souvent le choix naturel. La base de Auerbach devient surtout pertinente lorsque la norme ne provient pas d'un produit scalaire : elle conserve une normalisation simultanée des directions et des lectures duales.
À ne pas confondre
Base de Auerbach et base orthonormale. Une base orthonormale suppose un produit scalaire et impose des vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux. Une base de Auerbach se reconnaît par la biorthogonalité entre vecteurs et fonctionnels. Dans un espace muni d'une norme non euclidienne, elle peut exister sans notion d'angle droit associée à cette norme.
Base de Auerbach et base simplement normalisée. Normaliser une base impose seulement ‖ei‖ = 1. Pour être une base de Auerbach, il faut aussi que chaque fonctionnel de la base duale ait une norme égale à 1. Si l'une de ces normes duales dépasse 1, la base est normalisée mais n'est pas une base de Auerbach.
Base duale et dual algébrique entier. La base duale f1, …, fn est la famille de fonctionnels coordonnée associée à une base donnée. Elle forme une base de E* en dimension finie, mais elle ne désigne pas l'ensemble de tous les fonctionnels. Lorsque n ≥ 2, par exemple, f1 + f2 appartient aussi à E* sans être l'un des éléments choisis.
Limites et pièges
La dimension finie est essentielle dans cet énoncé. Si l'espace est de dimension infinie, la conclusion sous forme d'une famille finie ne décrit pas tout l'espace. Il faut restreindre le raisonnement à un sous-espace de dimension finie ou préciser une notion de base adaptée aux séries infinies.
L'existence n'entraîne pas l'unicité. Un même espace normé peut admettre plusieurs bases de Auerbach. Le symptôme du piège est de parler de « la » base comme si la norme en désignait une seule ; il faut fixer la base choisie avant de nommer ses fonctionnels duaux.
Tous les vecteurs de l'espace ne sont pas unitaires. La normalisation concerne les n vecteurs sélectionnés et les n fonctionnels duaux. Dans l'exemple, 2e1 a une norme égale à 2 : il appartient bien à l'espace, mais pas à la liste normalisée.
Le cas de dimension zéro dépend d'une convention. La famille vide peut être considérée comme une base de l'espace nul, et les conditions sont alors vacuement satisfaites. L'énoncé opérationnel de la fiche suppose n ≥ 1 afin que des vecteurs et des fonctionnels soient effectivement présents.
Pour aller plus loin
La fiche espace de Banach précise le cadre normé complet dans lequel le lemme est formulé.
La fiche Base duale approfondit la famille de fonctionnels qui extrait les coordonnées d'un vecteur.
La fiche norme revient sur la mesure de taille appliquée ici aux vecteurs et aux fonctionnels.
La fiche projection prolonge l'étude des opérateurs de rang un associés aux couples biorthogonaux.
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