Forme coordonnée

Prenons le vecteur de coordonnées (4, −2, 7) dans la base habituelle de l’espace à trois dimensions. Une forme coordonnée agit comme un sélecteur : la deuxième renvoie −2 et ignore les deux autres nombres.

Ce sélecteur dépend de la base choisie. Le même vecteur peut recevoir d’autres coordonnées dans une autre base ; la forme coordonnée associée donnera alors la valeur correspondant à cette nouvelle description.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K, muni d’une base ordonnée B = (e₁, …, e_n). Pour chaque indice k compris entre 1 et n, la k-ième forme coordonnée est l’unique application linéaire f_k de E vers K qui associe à tout vecteur sa k-ième coordonnée dans B.

Tout vecteur x possède une décomposition unique dans cette base, avec des scalaires λ₁, …, λ_n : $x={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{e}_{i}x=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash lambda\_i\; e\_i$. La définition s’écrit alors $f_k(x)={\lambda }_{k}f\_k(x)=\backslash lambda\_k$. De manière équivalente, sa valeur sur le j-ième vecteur de base est donnée par $f_k(e_j)={\delta }_{kj}f\_k(e\_j)=\backslash delta\_\{kj\}$, où le symbole delta vaut 1 si j = k et 0 sinon.

Les n formes f₁, …, f_n appartiennent à l’espace dual E^* et en constituent une base, appelée base duale de B. La forme coordonnée est donc liée à une base ordonnée précise ; elle n’est pas attachée au vecteur seul. Cette construction intervient notamment en algèbre linéaire et dans l’écriture des composantes en calcul tensoriel.

Dans l’espace des triplets réels, on choisit la base ordonnée B formée par e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (1, 1, 0) et e₃ = (0, 1, 1). Le vecteur étudié est x = (3, 5, 3). On cherche la valeur de la deuxième forme coordonnée f₂ sur x.

1. On note λ₁, λ₂ et λ₃ les coordonnées inconnues de x dans B.
2. L’égalité entre les trois composantes donne le système suivant :3. La dernière égalité donne λ₃ = 3, puis la deuxième donne λ₂ = 2 et la première donne λ₁ = 1.
4. La deuxième forme coordonnée extrait donc la valeur cherchée : f₂(x) = 2.

Le contrôle consiste à reconstruire le vecteur : $1e_1+2e_2+3e_3=(3,5,3)=x1e\_1+2e\_2+3e\_3=(3,5,3)=x$. Les trois composantes coïncident, donc la coordonnée extraite vaut bien 2. La figure synthétise cette décomposition et l’extraction de sa deuxième coordonnée.

Lors d’un changement de base, les formes coordonnées lisent les nouveaux coefficients d’un vecteur. Si seule sa représentation dans la base canonique est utile, lire directement ses composantes est plus court ; une autre base impose d’abord de résoudre la décomposition correspondante.

Pour construire la base duale, on cherche des formes qui valent 1 sur un vecteur de base et 0 sur tous les autres. Une forme linéaire quelconque convient à un autre besoin ; le test sur les vecteurs de base indique si elle est réellement une forme coordonnée.

En calcul tensoriel, les formes coordonnées servent à exprimer les composantes covariantes dans un repère choisi. Quand une description indépendante du repère est recherchée, il faut considérer l’objet tensoriel complet plutôt qu’une seule de ses composantes.

Forme linéaire quelconque. Une forme coordonnée est une forme linéaire particulière, déterminée par une base et un indice. Sur la base B de l’exemple, une forme qui envoie e₁ sur 1 et e₂ sur 1 n’est aucune des trois formes coordonnées, car elle ne sélectionne pas un seul coefficient.

Projection vectorielle. La forme f₂ renvoie un scalaire, ici 2. La projection sur la droite engendrée par e₂, selon le complément engendré par e₁ et e₃, renvoie au contraire un vecteur, ici 2e₂ = (2, 2, 0). Le type du résultat permet de trancher.

Application des coordonnées. L’application associée à B renvoie tout le n-uplet des coordonnées. Une forme coordonnée n’en renvoie qu’une : pour x dans l’exemple, l’application complète donne (1, 2, 3), tandis que f₂(x) donne 2.

Changement de base. Conserver la même notation f_k après avoir changé de base peut masquer un changement d’application. Le symptôme est qu’un même vecteur reçoit une autre valeur ; il faut préciser la base associée à chaque forme.

Famille qui n’est pas une base. Si les vecteurs choisis sont liés ou ne couvrent pas E, les coefficients peuvent être multiples ou inexistants. On ne peut alors pas définir les formes coordonnées par extraction unique ; il faut d’abord choisir une véritable base.

Ordre et indice. Permuter e₁ et e₂ permute aussi les formes coordonnées. De plus, aucun f_k n’existe pour k inférieur à 1 ou supérieur à n ; il faut fixer l’ordre et vérifier la plage de l’indice.

Dimension nulle. Si n = 0, la base est vide et il n’existe aucun indice k entre 1 et n. L’espace dual existe encore, mais sa base duale est vide : il ne faut pas chercher une « première » forme coordonnée.

La Forme linéaire replace l’extraction d’une coordonnée dans la famille plus large des applications linéaires à valeurs scalaires.

La Base duale montre comment toutes les formes coordonnées s’organisent en une base de l’espace dual.

L’espace dual présente l’espace qui rassemble toutes les formes linéaires définies sur un même espace vectoriel.