AlgèbreNotion · Glossaire
Base duale
La base duale d'une base {e1, ..., en} d'un espace vectoriel E de dimension finie est l'unique base {e1*, ..., en*} de l'espace dual E* telle que ei*(ej) = delta_ij (symbole de Kronecker), c'est-à-dire que ei*(ej) = 1 si i = j et 0 sinon. Chaque forme linéaire ei* est la projection sur la i-ième coordonnée dans la base considérée. La base duale permet d'exprimer les coordonnées d'un vecteur dans la base originale comme des évaluations de formes linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la base duale par les évaluations de Kronecker.
- Construire deux formes duales dans un exemple de dimension 2.
- Lire puis contrôler les coordonnées d'un vecteur.
- Reconnaître les limites liées à la base choisie et à la dimension.
En clair
Imaginez un vecteur assemblé à partir de deux directions choisies. Pour retrouver la quantité prise dans chaque direction, on utilise deux « lecteurs de coordonnées ». Le premier ignore entièrement la seconde direction, et le second ignore la première.
Ces lecteurs sont des formes linéaires. Réunis dans le même ordre que les vecteurs de départ, ils forment la base duale. Appliqués à un vecteur, ils rendent directement ses coordonnées dans la base choisie.
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d'une base ordonnée formée des vecteurs e1, …, en. L'espace dual E* est l'espace des formes linéaires de E vers le corps des scalaires. La base duale est la famille ordonnée de formes e1*, …, en* caractérisée par la relation suivante, où δ désigne le symbole de Kronecker :
Ainsi, ei* extrait la i-ième coordonnée dans cette base. Si un vecteur v a pour coordonnées a1, …, an, alors et ai = ei*(v). Ces conditions déterminent une unique famille, qui est elle-même une base de E*. La construction dépend de la base ordonnée choisie : changer les vecteurs de référence change généralement les formes duales.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace des couples réels, prenons les vecteurs e1 = (1, 1) et e2 = (1, −1). Ils forment une base. Cherchons les deux formes duales, puis les coordonnées du vecteur v = (3, 1).
1. Écrivons e1*(x, y) = ax + by. Les conditions e1*(e1) = 1 et e1*(e2) = 0 donnent a + b = 1 et a − b = 0, donc a = b = 1/2.
2. Le même calcul pour la seconde forme impose e2*(e1) = 0 et e2*(e2) = 1 :
3. Évaluons ces formes en v : e1*(3, 1) = 2 et e2*(3, 1) = 1. Les coordonnées de v dans la base choisie sont donc (2, 1).
Le contrôle consiste à reconstruire le vecteur : 2e1 + e2 = 2(1, 1) + (1, −1) = (3, 1). Le parallélogramme associé rend visibles les deux contributions et leur somme.
En pratique
Pour obtenir les coordonnées d'un vecteur dans une base non canonique, on évalue chaque forme de la base duale. Cette voie est particulièrement utile lorsque les mêmes coordonnées doivent être extraites pour de nombreux vecteurs ; résoudre un nouveau système à chaque fois serait plus répétitif.
Pour construire la base duale à partir de coordonnées matricielles, on peut inverser la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la base. Les lignes de la matrice inverse donnent alors les formes duales. Si l'on ne traite qu'un seul vecteur, résoudre directement le système de décomposition peut être plus court.
Pour vérifier un calcul, chaque forme doit valoir 1 sur le vecteur de même indice et 0 sur tous les autres. Ce test croisé repère immédiatement une inversion d'ordre ou une erreur de signe.
À ne pas confondre
Base duale et espace dual. L'espace dual E* contient toutes les formes linéaires sur E ; une base duale est une base particulière de cet espace, attachée à une base donnée de E. Deux bases différentes de E conduisent en général à deux bases duales différentes du même espace dual.
Forme duale et vecteur de la base initiale. Une forme ei* prend un vecteur en entrée et renvoie un scalaire, tandis que ei est lui-même un vecteur. Par exemple, dans le cas réel étudié, e1*(3, 1) vaut 2 : le résultat est un nombre, pas un vecteur.
Limites et pièges
Une famille dépendante n'a pas de base duale. Si les vecteurs choisis ne forment pas une base, les conditions de Kronecker sont incompatibles ou ne déterminent pas les formes sur tout l'espace. Il faut d'abord choisir une véritable base.
L'ordre compte. Permuter e1 et e2 permute les lecteurs de coordonnées correspondants. Le symptôme d'un ordre incohérent est qu'une forme renvoie 1 sur le mauvais vecteur ; il faut aligner les indices des deux familles.
La dimension finie est une hypothèse essentielle ici. En dimension infinie, une base algébrique possède bien des formes coordonnées, mais celles-ci n'engendrent généralement qu'une partie du dual algébrique. Dans un espace vectoriel topologique, elles peuvent en outre ne pas être continues ; il faut alors préciser quel dual et quelle notion de base sont employés.
Un produit scalaire n'est pas nécessaire. Identifier visuellement une forme linéaire à un vecteur suppose une structure supplémentaire. Sans produit scalaire choisi, la base duale vit dans E*, et non dans E.
Pour aller plus loin
L’espace dual replace les formes coordonnées parmi toutes les applications linéaires de E vers le corps des scalaires.
La notion de forme linéaire précise la nature et les propriétés des fonctions qui composent une base duale.
Le bidual montre comment un vecteur de dimension finie s'identifie naturellement à l'évaluation des formes linéaires sur ce vecteur.
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