Antéduale (base)

Prenons deux flèches qui servent de repères dans un plan. À chacune, on associe un lecteur de coordonnée : il renvoie 1 sur sa flèche et 0 sur l'autre. Ces lecteurs sont des formes linéaires, c'est-à-dire des fonctions qui transforment les vecteurs en nombres tout en respectant les combinaisons linéaires. Ensemble, ils constituent la base antéduale associée aux flèches de départ.

Ainsi, appliquer le premier lecteur à un vecteur donne sa première coordonnée dans la base choisie ; le second donne la deuxième, et ainsi de suite.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps de scalaires, et soit B la base ordonnée formée des vecteurs e₁, …, e_n. L'espace dual E* est l'ensemble des formes linéaires de E vers ce corps. La base associée dans E*, notée B*, est formée des formes e¹, …, eⁿ caractérisées par la relation suivante, où δ_ij est le symbole de Kronecker :

Ces conditions déterminent chaque forme eⁱ de manière unique. Si un vecteur x se décompose dans B avec les coordonnées x₁, …, x_n, alors eⁱ(x) = x_i. Toute forme linéaire φ se décompose donc elle aussi de façon unique : $\phi ={\sum }_{i=1}^n\phi (e_i)e^i\backslash varphi=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash varphi(e\_i)e^i$.

Cette construction dépend de la base B, et pas seulement de l'espace E. La source emploie « base antéduale » comme synonyme de base duale contragrédiente associée à B. Selon une autre convention de vocabulaire, l'antéduale d'une base donnée de E* désigne plutôt la base correspondante dans E ; le sens doit donc être lu avec son espace ambiant.

Dans E = ℝ², on choisit e₁ = (1, 1) et e₂ = (1, −1). On cherche deux formes linéaires e¹ et e². Chacune doit valoir 1 sur le vecteur portant le même indice et 0 sur l'autre.

1. Les vecteurs de la base sont placés en colonnes dans la matrice P :

2. Les coefficients des formes cherchées sont les lignes de l'inverse de P. Un calcul direct donne :

3. Pour un vecteur (x, y), on obtient donc e¹(x, y) = (x + y)/2 et e²(x, y) = (x − y)/2.

Le contrôle se refait sur les deux vecteurs : e¹(1, 1) = 1, e¹(1, −1) = 0, e²(1, 1) = 0 et e²(1, −1) = 1. Les quatre valeurs reproduisent bien la matrice identité. La figure synthétise ce double test sans remplacer le calcul.

Pour lire les coordonnées d'un vecteur dans une base non canonique, on applique successivement les formes de la base duale. Dans l'exemple, e¹(x, y) et e²(x, y) livrent directement les deux coefficients recherchés. Résoudre un nouveau système pour chaque vecteur serait plus long.

Pour décrire une forme linéaire φ, on calcule ses valeurs sur e₁, …, e_n. Ces nombres deviennent les coefficients de φ dans la base duale. On revient plutôt à la base canonique lorsque les expressions y sont déjà plus simples.

Pour vérifier une base duale proposée, on construit le tableau de toutes les valeurs eⁱ(e_j). La proposition est correcte exactement lorsque ce tableau est la matrice identité. Une seule valeur hors de la diagonale non nulle suffit à la rejeter.

Base duale et espace dual. L'espace dual E* contient toutes les formes linéaires sur E ; la base duale B* n'en est qu'une base, attachée à B. Changer B change généralement B*, sans changer E*.

Dualité et orthogonalité. La condition eⁱ(e_j) = 0 pour i différent de j ressemble à une orthogonalité, mais elle repose sur l'évaluation d'une forme sur un vecteur. Une base orthogonale exige au contraire un produit scalaire entre deux vecteurs. Sans produit scalaire choisi, la base duale existe tout de même en dimension finie.

Une famille qui n'est pas une base. Si les vecteurs de départ sont linéairement dépendants, aucune famille de formes ne peut satisfaire toutes les relations de Kronecker. Le symptôme est une matrice de colonnes non inversible ; il faut d'abord extraire ou choisir une véritable base.

Une construction relative. Il n'existe pas de base duale canonique d'un espace vectoriel abstrait sans base B préalablement choisie. Si B change, il faut recalculer les formes coordonnées ; conserver les anciennes formes donne en général un tableau d'évaluations différent de l'identité.

Le sens du mot antéduale. Certains textes réservent ce mot à la base de E dont une base donnée de E* est la duale. Pour lever l'ambiguïté, il faut identifier l'espace de la base donnée et vérifier dans quel sens s'écrit la relation d'évaluation.

La dimension infinie. La construction décrite ici suppose E de dimension finie. Pour une base algébrique infinie, les formes coordonnées existent, mais elles ne forment pas en général une base de tout le dual algébrique. Il faut alors distinguer la famille des coordonnées de l'ensemble complet des formes linéaires.

La fiche Base duale approfondit la construction de la famille de formes associée à une base de vecteurs.

La fiche espace dual situe cette base dans l'ensemble de toutes les formes linéaires sur l'espace initial.

La fiche Forme linéaire précise la nature des applications qui constituent une base duale.