matrice d'un endomorphisme

Imaginez deux flèches de référence dans un plan. Une transformation linéaire déplace ces deux flèches ; leurs nouvelles coordonnées deviennent les deux colonnes d’un tableau carré. Ce tableau est la matrice de l’endomorphisme dans la base choisie.

Comme tout vecteur se construit à partir des flèches de référence, le tableau suffit ensuite à calculer son image. En revanche, changer les flèches de référence peut changer les nombres du tableau, même si la transformation reste la même.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. On choisit une base B formée, dans l’ordre, des vecteurs e₁, …, e_n, et un endomorphisme φ, c’est-à-dire une application linéaire de E vers lui-même. Pour chaque indice j, l’image φ(e_j) possède une unique décomposition dans B. Les coefficients de cette décomposition constituent la j-ième colonne de la matrice de φ dans B.

Si le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j est noté a_ij, la définition s’écrit :
La matrice est carrée d’ordre n parce que le départ et l’arrivée sont le même espace. Notons-la A. Pour un vecteur dont la colonne de coordonnées dans B est X, la colonne des coordonnées de son image est le produit de A par X :

La matrice dépend de la base, mais l’endomorphisme n’en dépend pas. Si P est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées d’une nouvelle base B′ dans l’ancienne base B, alors les deux représentations vérifient :
Cette formule suppose précisément cette convention pour P.

Quatre données organisent l’objet. L’espace E fixe les vecteurs manipulés, sa dimension n fixe la taille n × n de la matrice, la base ordonnée B fixe les coordonnées, et l’endomorphisme φ fournit les images à encoder. L’ordre de B compte : la j-ième colonne correspond à l’image du j-ième vecteur de base.

Chaque colonne dépend donc à la fois de φ et de B : φ choisit le vecteur image, puis B fournit ses composantes. Les lignes regroupent, pour toutes les images, le coefficient associé à un même vecteur de base. Ces n colonnes suffisent à reconstruire l’image de n’importe quel vecteur par combinaison linéaire. La disposition visuelle ou la façon de tracer les vecteurs ne définit pas la matrice ; seuls la base ordonnée, l’application et les coefficients comptent.

Dans le plan réel ℝ², on prend la base ordonnée B = (e₁, e₂), avec e₁ = (1, 0) et e₂ = (0, 1). L’endomorphisme φ est défini par φ(x, y) = (2x + y, x − y). On veut construire sa matrice, puis calculer l’image du vecteur v = (3, 2).

1. On applique φ au premier vecteur de base : φ(e₁) = φ(1, 0) = (2, 1). Ses coordonnées forment la première colonne.
2. On applique φ au second : φ(e₂) = φ(0, 1) = (1, −1). Ses coordonnées forment la seconde colonne.
3. On range ces colonnes dans leur ordre :
4. La colonne de v est multipliée par A :

Ainsi φ(3, 2) = (8, 1). Le contrôle direct donne bien (2 × 3 + 2, 3 − 2) = (8, 1). La figure associe chaque vecteur de base à son image ; les deux couples obtenus se lisent comme les colonnes de A.

Pour calculer rapidement plusieurs images, on construit une fois la matrice dans la base utilisée, puis on multiplie chaque colonne de coordonnées par cette matrice. Le calcul direct avec la formule de φ reste préférable pour une seule image très simple.

Pour comparer la même transformation dans deux repères, on utilise une matrice de passage et la relation de conjugaison. Recalculer toutes les images de base est une alternative correcte, mais souvent plus longue ; elle devient utile pour contrôler la convention choisie pour P.

Pour repérer des directions conservées par l’action, on cherche des vecteurs propres de la matrice, c’est-à-dire des vecteurs non nuls dont l’image est un multiple. Une direction est effectivement conservée lorsque ce multiple est non nul ; l’étude directe des colonnes suffit plutôt lorsque l’objectif est seulement de construire la représentation.

Matrice d’un endomorphisme et endomorphisme. L’endomorphisme est l’application linéaire elle-même ; sa matrice est une représentation numérique relative à une base. Un changement de base peut modifier la matrice, mais pas l’application.

Matrice d’un endomorphisme et matrice d’une application linéaire quelconque. Un endomorphisme part d’un espace et revient dans ce même espace, donc sa matrice est carrée dans une base unique. Une application entre des espaces de dimensions différentes peut avoir une matrice rectangulaire et exige une base au départ ainsi qu’une base à l’arrivée.

Changement de base et changement d’endomorphisme. Deux matrices conjuguées représentent le même endomorphisme dans deux bases compatibles. Modifier une entrée sans appliquer la relation de conjugaison définit en général une autre application, et non un nouveau point de vue sur la même.

Base non précisée. Une matrice seule ne donne pas ses coordonnées géométriques de façon intrinsèque. Le symptôme est l’impossibilité d’identifier ce que représente une colonne ; il faut annoncer la base ordonnée utilisée.

Colonnes et lignes inversées. Avec la convention usuelle des vecteurs-coordonnées en colonnes et d’une action à gauche, les images des vecteurs de base occupent les colonnes. Les placer en lignes conduit à la transposée ; il faut vérifier le produit A[v]_B.

Dimension nulle ou infinie. Si n = 0, la représentation est une matrice 0 × 0, cas formel sans colonne. En dimension infinie, une base peut être infinie : on ne dispose plus d’une matrice carrée finie d’ordre n, et le cadre décrit ici ne s’applique pas tel quel.

Mauvaise convention de passage. La formule P⁻¹AP vaut lorsque les colonnes de P expriment la nouvelle base dans l’ancienne. Si P est défini dans le sens opposé, les facteurs s’inversent ; il faut écrire d’abord la relation entre les colonnes de coordonnées.

matrice de passage. Elle détaille le passage entre deux systèmes de coordonnées et éclaire l’origine de la conjugaison P⁻¹AP.

espace vectoriel. Cette notion précise le cadre dans lequel bases, combinaisons linéaires et coordonnées rendent la représentation matricielle possible.

Vecteur propre. Il montre comment certaines directions sont simplement multipliées par l’endomorphisme et prépare l’étude de la diagonalisation.