matrice d'une application linéaire

Imaginez une machine qui transforme chaque flèche du plan en une autre flèche. Pour décrire toute la machine, il suffit de regarder ce qu'elle fait aux deux flèches de base. Les coordonnées de la première image forment la première colonne d'un tableau ; celles de la seconde image forment la deuxième colonne.

Ce tableau est la matrice de l'application linéaire dans les bases choisies. En multipliant cette matrice par les coordonnées d'une flèche, on obtient les coordonnées de sa nouvelle position.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K, de dimensions finies respectives n et p. On choisit une base B₁ = (e₁, …, e_n) de E et une base B₂ = (f₁, …, f_p) de F. Pour une application linéaire φ de E dans F, sa matrice relativement à ces bases est la matrice à p lignes et n colonnes dont la colonne numéro i contient les coordonnées de φ(e_i) dans B₂.

Si A désigne cette matrice et si X est la colonne des coordonnées d'un vecteur x dans B₁, alors la colonne Y des coordonnées de φ(x) dans B₂ vérifie :

Les bases font partie des données : une même application peut donc avoir plusieurs matrices. Réciproquement, une matrice à p lignes et n colonnes détermine une unique application linéaire lorsque les deux bases sont fixées. Si une seconde application linéaire ψ va de F vers un espace G muni d'une base B₃, la matrice de la composée ψ ∘ φ est le produit de la matrice de ψ par celle de φ, à condition d'utiliser la même base B₂ au milieu.

La construction repose sur cinq éléments : l'espace de départ E, sa base B₁, l'espace d'arrivée F, sa base B₂ et l'application linéaire φ. Le nombre de vecteurs de B₁ fixe le nombre n de colonnes. Le nombre de vecteurs de B₂ fixe le nombre p de lignes.

La colonne i dépend à la fois de l'image φ(e_i) et de la base B₂ choisie pour en lire les coordonnées. L'ordre des colonnes dépend de l'ordre des vecteurs dans B₁. Ces données suffisent à reconstruire l'image de tout vecteur de E par linéarité. La figure de l'exemple matérialise cette correspondance entre vecteurs de base, images et colonnes.

On travaille dans le plan réel avec la base canonique (e₁, e₂). L'application φ envoie un vecteur de coordonnées (x, y) sur le vecteur de coordonnées (2x + y, x − y). Le vecteur à tester est u = (3, 2).

1. Pour e₁ = (1, 0), l'image est φ(e₁) = (2, 1). Elle fournit la première colonne.

2. Pour e₂ = (0, 1), l'image est φ(e₂) = (1, −1). Elle fournit la deuxième colonne.

3. On assemble les colonnes, puis on multiplie par les coordonnées de u :

Le résultat est donc φ(u) = (8, 1). Un contrôle indépendant consiste à remplacer directement x par 3 et y par 2 : 2 × 3 + 2 = 8 et 3 − 2 = 1. Les deux calculs coïncident.

Pour construire la matrice d'une application donnée par une formule, on calcule l'image de chaque vecteur de la base de départ, puis on place ses coordonnées en colonne. Un calcul direct sur un vecteur reste préférable si une seule image est recherchée ; la matrice devient avantageuse pour répéter l'opération.

Pour enchaîner deux transformations, on multiplie leurs matrices dans l'ordre de la composition. Si les bases intermédiaires ne coïncident pas, il faut d'abord convertir les coordonnées ; sinon, le produit ne représente pas la composée annoncée.

Pour résoudre un problème dans une base mieux adaptée, on peut changer de matrice sans changer d'application. Une base qui simplifie la matrice est utile lorsque les calculs deviennent plus courts ; la base initiale reste préférable si elle porte le sens concret des coordonnées.

Application linéaire et sa matrice. L'application est une transformation entre espaces vectoriels ; la matrice est son écriture dans deux bases. Si l'on change une base et que le tableau change, l'application peut pourtant rester la même.

Matrice d'une application et matrice de changement de base. La première encode les images par l'application. La seconde convertit les coordonnées d'un même vecteur entre deux bases. Une application identité peut ainsi avoir une matrice non identité si les bases de départ et d'arrivée diffèrent.

Image d'un vecteur et coordonnées de cette image. Le vecteur φ(x) appartient à F ; sa colonne de coordonnées dépend de B₂. Deux colonnes différentes peuvent donc décrire le même vecteur dans deux bases différentes.

Oublier les bases. Une matrice seule ne désigne une application entre espaces abstraits qu'après fixation des bases. Le symptôme est un changement de coefficients lorsque l'on réexprime les mêmes vecteurs. Il faut toujours noter les bases de départ et d'arrivée.

Exiger une matrice carrée. Si E a dimension n et F dimension p, la matrice a p lignes et n colonnes. Elle n'est carrée que dans le cas charnière p = n. Pour p ≠ n, le déterminant et l'inverse matriciel carré ne s'appliquent pas.

Inverser l'ordre d'une composition. Pour appliquer d'abord φ puis ψ, la matrice de ψ se place à gauche de celle de φ. Un produit impossible par ses dimensions, ou un résultat qui contredit un vecteur test, signale qu'il faut revoir l'ordre et les bases intermédiaires.

Ranger les images en lignes. Avec la convention des vecteurs-coordonnées en colonnes, les images des vecteurs de base sont les colonnes de la matrice. Les placer en lignes produit la transposée et fausse le calcul A X. Il faut vérifier la convention avant toute multiplication.

La notion d'application linéaire précise la propriété qui rend possible l'encodage complet par les images d'une base.

L'espace vectoriel donne le cadre dans lequel bases, coordonnées et combinaisons linéaires prennent leur sens.

L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire replace ces transformations dans une vision plus large de l'algèbre linéaire.