transposition d'une application linéaire

Imaginez une machine qui transforme deux nombres en deux autres. Au lieu de suivre directement les nombres, on peut observer une mesure linéaire effectuée à la sortie, puis demander quelle mesure équivalente réaliser à l'entrée. La transposée accomplit ce retour : elle prend une forme linéaire sur l'espace d'arrivée et la ramène sur l'espace de départ.

Dans une matrice, ce changement de point de vue échange lignes et colonnes. Les coefficients ne changent pas de valeur ; seule leur position est inversée par rapport à la diagonale.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps, et une application linéaire f de E vers F. Le dual E^* est l'espace des formes linéaires de E vers le corps de base ; F^* se définit de même. La transposée de f, notée ${}^{t}f\{\}^t\; f$, envoie chaque forme linéaire φ sur F vers la forme φ composée avec f sur E.

Cette définition ne dépend d'aucune base : La flèche va donc dans le sens opposé à celle de f. Pour tout vecteur x de E, la valeur obtenue vérifie $({}^{t}f(\phi ))(x)=\phi (f(x))(\{\}^t\; f(\backslash varphi))(x)=\backslash varphi(f(x))$.

En dimension finie, après avoir choisi une base de E et une base de F, ainsi que leurs bases duales, si la matrice de f est A, celle de sa transposée est A^T. L'entrée de ligne i et de colonne j de A devient l'entrée de ligne j et de colonne i de A^T. Cette représentation matricielle dépend des bases choisies, tandis que la règle φ ↦ φ ∘ f est intrinsèque.

La construction réunit cinq éléments. L'espace de départ E fournit les vecteurs x ; l'espace d'arrivée F reçoit leurs images f(x). L'application f relie ces deux espaces. Le dual F^* contient les formes linéaires φ qui mesurent les vecteurs de F, et le dual E^* contient les mesures linéaires possibles sur E.

La dépendance essentielle est une composition : une forme φ ne peut être ramenée sur E qu'en évaluant d'abord f(x), puis φ(f(x)). Ainsi, la transposée dépend de f, mais pas d'une matrice particulière. Une matrice A n'apparaît qu'après le choix de bases ; ses colonnes décrivent f, puis deviennent les lignes de A^T dans les bases duales correspondantes. Ces données suffisent à calculer l'image de toute forme linéaire par la transposée.

Considérons l'application f du plan réel vers lui-même. Les réels x et y sont les coordonnées d'entrée, tandis que u et v désignent les coordonnées de sortie : Dans les bases usuelles, sa matrice A et la forme de sortie $\phi (u,v)=4u-v\backslash varphi(u,v)=4u-v$ constituent toutes les données du calcul.

1. Les coefficients de f donnent

2. On échange les lignes et les colonnes :

3. La forme φ a pour colonne de coordonnées Sa transposée se calcule alors par

4. Le résultat signifie que la forme ramenée sur l'entrée vaut x + 9y. On le contrôle sans matrice : Les deux calculs donnent exactement la même forme linéaire.

Pour calculer la transposée en coordonnées, on fixe les bases, on écrit la matrice de l'application, puis on échange ses lignes et ses colonnes. Cette méthode est préférable au calcul forme par forme lorsque plusieurs formes linéaires doivent être transformées dans les mêmes bases.

Pour vérifier le résultat, on choisit une forme φ et un vecteur x, puis on compare l'évaluation de la forme transposée sur x avec φ(f(x)). Une différence signale généralement une inversion de dimensions, de bases ou d'ordre dans le produit matriciel.

Pour raisonner sans coordonnées, on utilise directement la composition φ ↦ φ ∘ f. Cette approche est préférable lorsqu'aucune base n'est fixée ou lorsqu'on étudie le noyau, l'image et les annihilateurs plutôt qu'un calcul numérique.

La transposée d'une matrice échange seulement lignes et colonnes. La transposée d'une application linéaire est l'application intrinsèque de F^* vers E^* ; elle est représentée par la matrice transposée uniquement dans les bases duales associées aux bases choisies.

L'adjoint dépend en plus de produits scalaires ou hermitiens. Sur des espaces euclidiens réels munis de bases orthonormées, sa matrice coïncide avec A^T. Sur des espaces hermitiens complexes munis de bases orthonormées, la matrice de l'adjoint est la transposée conjuguée, pas la simple transposée.

La fonction réciproque ou l'inverse de f, lorsqu'il existe, va de F vers E et annule l'effet de f. La transposée existe même si f n'est pas bijective et agit sur les espaces duaux, non sur les vecteurs de F.

Une écriture matricielle n'a de sens qu'après le choix de bases. Si les bases changent, A et A^T changent aussi ; il faut employer les bases duales correspondantes pour que A^T représente bien la transposée.

La transposée renverse l'ordre d'une composition. Pour des applications f de E vers F et g de F vers G, l'identité correcte est ${}^t(g\circ f)={}^{t}f\circ {}^{t}g\{\}^t(g\backslash circ\; f)=\{\}^t\; f\backslash circ\{\}^t\; g$. Conserver l'ordre de f et g produit des domaines incompatibles.

En dimension infinie, la transposée algébrique existe toujours sur les duaux algébriques. Dans un cadre topologique ou normé, on travaille souvent avec les formes linéaires continues ; il faut alors vérifier la continuité de f pour que la composition préserve ce dual continu.

La double transposée agit de E^** vers F^**. En dimension finie, l'identification canonique avec E et F permet de retrouver f. En dimension infinie, l'injection canonique dans le bidual n'est pas nécessairement surjective : identifier automatiquement un espace à son bidual serait abusif.

La fiche application linéaire précise la structure de f et la manière dont une matrice encode son action dans des bases choisies.

La fiche espace dual développe l'espace qui reçoit les formes linéaires et explique pourquoi la transposée renverse le sens de la flèche.

La fiche Forme linéaire approfondit les objets φ que la transposée ramène de l'espace d'arrivée vers celui de départ.