base de Hilbert

Imaginez un signal décrit par une suite de réglages indépendants. Le premier indique l'intensité du premier motif, le deuxième celle du suivant, et ainsi de suite. Une base de Hilbert fournit ces motifs de référence. Ils sont perpendiculaires deux à deux et chacun a une longueur égale à 1.

Même si une infinité de réglages est nécessaire, leurs contributions successives reconstruisent le signal avec une erreur qui tend vers zéro. Les coefficients jouent alors le rôle de coordonnées, comme dans le plan ou l'espace usuel.

Soit E un espace de Hilbert séparable, réel ou complexe. Une suite de vecteurs (f_i)_i≥1 est une base de Hilbert lorsque ses vecteurs sont orthonormaux et que leur sous-espace vectoriel engendré est dense dans E. Orthonormaux signifie que chaque vecteur a une norme égale à 1 et que deux vecteurs distincts ont un produit scalaire nul. La densité signifie que tout vecteur de E peut être approché aussi précisément que souhaité par une combinaison linéaire finie des f_i.

Pour tout vecteur x de E, il existe alors une unique suite de coordonnées (a_i) telle que les sommes partielles convergent vers x pour la norme de E :

Avec la convention où le produit scalaire est linéaire en sa première variable, la coordonnée a_i vaut ⟨x, f_i⟩. Ces coordonnées vérifient l'identité de Parseval : la somme des carrés de leurs modules est égale au carré de la norme de x. Dans un espace non séparable, une base de Hilbert peut être indexée par un ensemble non dénombrable ; elle ne se présente donc pas nécessairement comme une suite.

Considérons l'espace ℓ² des suites de nombres réels dont la somme des carrés converge. Sa base canonique est formée des suites e₁ = (1, 0, 0, …), e₂ = (0, 1, 0, …), et ainsi de suite.

Données. Le vecteur étudié est x = (1, 1/2, 1/4, 1/8, …). Son i-ième coefficient est a_i = 1/2ⁱ⁻¹. On conserve d'abord les trois premières coordonnées.

1. Les trois premiers coefficients donnent la somme partielle x₃ = e₁ + (1/2)e₂ + (1/4)e₃ = (1, 1/2, 1/4, 0, …).

2. Le vecteur restant est x − x₃ = (0, 0, 0, 1/8, 1/16, …).

3. Le carré de l'erreur est la série géométrique suivante : $\mathrm{\parallel }x-x_3{\mathrm{\parallel }}^2={\sum }_{k=3}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2^k}\right)}^2=\frac{1}{48}\backslash |x-x\_3\backslash |^2=\backslash sum\_\{k=3\}^\{\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2^k\}\backslash right)^2=\backslash frac\{1\}\{48\}$.

4. L'erreur vaut donc exactement 1/(4√3), soit environ 0,144.

Le contrôle consiste à ajouter le quatrième coefficient : le carré de l'erreur devient 1/192, quatre fois plus petit. Le schéma des coordonnées distingue les trois termes conservés de la suite infinie qui forme le reste.

Pour approcher une suite de ℓ², on calcule ses premières coordonnées dans la base canonique, puis on arrête lorsque la norme du reste passe sous la précision recherchée. Une représentation exacte reste préférable si la suite ne comporte déjà qu'un nombre fini de termes non nuls.

Pour étudier un signal périodique de carré intégrable, le système trigonométrique normalisé fournit une base de Hilbert adaptée. Les coefficients de Fourier séparent les fréquences ; une autre base est préférable si les phénomènes à isoler ne sont pas naturellement périodiques.

Pour vérifier qu'une famille candidate convient, on contrôle d'abord l'orthonormalité, puis la complétude. Si un vecteur non nul est orthogonal à tous les candidats, la famille est incomplète : il faut lui ajouter des directions ou choisir une autre famille.

Famille orthonormale. Elle satisfait les relations de longueur et d'orthogonalité, mais elle n'est une base de Hilbert que si elle est complète. Dans ℓ², la famille (e₂, e₃, …) est orthonormale, mais elle ne reconstruit pas e₁.

Base algébrique, ou base de Hamel. Chaque vecteur y est une combinaison linéaire finie. Une base de Hilbert autorise au contraire une série convergente pour la norme. Dans ℓ², le vecteur (1, 1/2, 1/4, …) utilise une infinité de vecteurs de la base canonique.

Une suite suppose la séparabilité. Un espace de Hilbert non séparable n'admet pas de base de Hilbert dénombrable. Il faut alors indexer les vecteurs par un ensemble éventuellement non dénombrable, au lieu de les numéroter 1, 2, 3, …

Orthonormale ne signifie pas complète. Le symptôme est l'existence d'un vecteur non nul orthogonal à toute la famille. Il faut vérifier que le seul vecteur présentant cette propriété est le vecteur nul.

La convergence porte sur la norme. Une décomposition en base de Hilbert converge dans l'espace considéré. Pour un espace de fonctions, cette affirmation ne garantit à elle seule ni une convergence en chaque point ni une convergence uniforme ; ces propriétés demandent des hypothèses supplémentaires.

L'ordre n'est pas la structure. Réordonner une base dénombrable ne détruit pas son caractère de base. En revanche, omettre une direction essentielle rend la famille incomplète, même si tous les vecteurs restants demeurent orthonormaux.

L'espace de Hilbert précise le cadre complet dans lequel la norme, le produit scalaire et la convergence de la série prennent sens.

Une famille orthonormale permet d'isoler les deux conditions géométriques qui précèdent la question décisive de la complétude.

L'égalité de Parseval relie la norme d'un vecteur à la somme des carrés des modules de ses coordonnées.

La série de Fourier montre comment une base de fonctions transforme un signal périodique en une suite de coefficients.